从一道变质量问题区分牛顿定律与动量定理解题的不同

史 博 陶宗明 张 辉 麻晓敏

1 引言

在动力学中常常会遇到变质量问题，例如，一辆装煤的车以水平速率v从煤斗下经过，每秒落入车厢的煤质量为Δm，如果车厢速率保持不变，应用多大的力牵引车厢？（忽略车厢与钢轨间的摩擦）

此题可以落下的煤为研究对象，运用质点的动量定理；也可以煤和车为系统，运用系统的动量定理．当以煤和车系统为研究对象时，是否也可以运用动量定理的微分形式即牛顿第二定律呢？即

（车的速率保持不变）

由此得到的结果与运用系统的动量定理得到的结果是一致的，但这类变质量问题是否可以应用这一形式的牛顿定律呢？由此想到，低速条件下对于运动速度不变而质量变化的物体，牛顿定律是否可以写成如下的形式呢？

2 讨论

2．1 这一形式的牛顿定律是不对的

对于质点的牛顿定律而言，在低速情况下质点的质量是不变的，不能因为物体的合并、分离就把它看成变质量问题；而对于质点系的牛顿定律即质心运动定理，物体的合并和分离要考虑质心的运动情况，而不是部分的运动情况．

2．2 引言中的问题纯属巧合

引言中给出的例题中，下落的煤落在车上前水平方向的速率为零，但如果下落的煤在水平方向上有初始速率v1（设v1＜v），这一形式的牛顿定律还能解决此问题吗？

讨论如下，此时可以在水平方向上运用质点或系统的动量定理．如运用系统的动量定理，设Δt时间内落下了质量为Δm的煤，车和落下的煤这个系统水平方向的初始动量为m v＋Δm v1，以共同速率v运动时动量为（m＋Δm）v，动量增量为Δm（v－v1），则FΔt＝Δm（v－v1），得到

2．3 关于其他变质量问题

例如，质量为m的均匀软链条，长为L，上端悬挂，下端刚和地面接触，由于悬点松脱使链条自由下落，试求链条落到地面上的长度为l时，对地面的作用力．

图1

如图1所示，落在地面上的链条质量在不断变化，此类问题属于变质量问题，同样可以通过质点或质点系的动量定理解决．

方法1：在竖直方向上进行分析，选择向下为正方向．当已落下的链条长度为l时，设其对地面的作用力设为N1，则

在竖直方向上运用质点的动量定理

得到微元受到地面的作用力

而dm对地面的作用力

地面受到的总的作用力

方法2：与方法1相同首先得到

以落在地上的链条和其后dt时间内落下的链条系统为研究对象，系统初动量

p0＝0＋vdm

末动量 p＝0

其中

设系统受到地面的冲力为N′2，在竖直方向上运用系统的动量定理，则

得到系统受到地面的冲力

而系统对地面的作用力

地面受到的总的作用力

通过质点或质点系的动量定理都可以解决此类问题，但却不能直接在竖直方向上运用牛顿第二定律F＝这一形式．

3 结束语

引言中的问题很容易形成误导，使人认为对于速度不变而质量改变的系统，运用F＝很简单就可以解决，但此问题可以运用F＝得到正确结果只是巧合而已，对其他变质量问题却不适用．通过讨论给出了牛顿定律与动量定理解题的不同，同时可得到这样的启示，对问题的研究、思考要深入，不能只看表面，也不能只跟着感觉走．

1 张三慧．大学基础物理学（上）．北京：清华大学出版社，2010 ．69 ～72

2 陶宗明．大学物理（第1版）．上海：上海交通大学出版社，2000 ．42 ～45

3 屈志红．关于动量定理的应用．锦州师范学院学报，2003 （1）：88 ～89