彭成晓
(河南大学物理与电子学院 河南 开封 4750 04 )
房彩丽
(河南大学计算机与信息工程学院 河南 开封 4750 04 )
王 超
(河南大学物理与电子学院 河南 开封 4750 04 )
在普通物理学习中,经常会遇到矢量与矢量微分之间标积的运算A·dA.例如,在推导质点的动能定理[1],计算万有引力(静电力)做功[2]等情况时,经常会用到这样的等式A·dA=AdA,初学者经常会对这一等式产生困惑.A的模就是其矢量大小A,即=A,但是dA表示A的微分,是矢量,而dA表示A的大小的微分,是标量,dA与dA意义不同,如图1所示,dA大小等于PM长度,dA等于NM长度,因此它们并不相等.但A·dA=AdA为什么能成立呢?
图1
由于A是矢量,其大小和方向的变化都可以引起矢量A改变,因此,关于矢量与矢量微分之间的运算,可分为以下几种情况进行讨论.
矢量A大小不变(即A= 常量),仅改变方向[3],如图2(a)所示,由A变化为A+ΔA.当矢量A增量很小,ΔA→dA,θ→0°,则α=β→90 °,因此,A⊥dA,如图2(b)所示,则A·dA=0.而A为常量,所以dA=0,得AdA=0.因此A·dA=AdA成立.
图2
图3
A·dA=AdA,可以用以下方法理解.
按照矢量标积运算
由于dA是A的微分,因此在△O PM中∠P OM→0°,那么在等腰三角形△O PN中∠O PN=∠O NP→90 °,cosθ=dA,因此
A·dA=AdA
d(A·A)=d(A2)=2AdA
又 d(A·A)=dA·A+A·dA=2A·dA
因此
A·dA=AdA
4.3.1 自然坐标系
A=A eA,A为A的大小,eA为矢量A方向上的单位矢量.按照矢量微分运算,有
dA=d(A eA)=eAdA+AdeA
A·dA=A eA·(eAdA+AdeA)=
AdA+A2eA·deA
其中eA·deA=0,可用图2(b)理解,eA为矢量A方向上的单位矢量,故其大小不变,始终为1,仅仅方向改变.eA与其微分deA垂直,因此,它们之间的标积为零,即eA·deA=0
因此
A·dA=AdA
4.3.2 直角坐标系
通常接触最多的是直角坐标系,这里给出在直角坐标系下矢量与矢量微分之间的标积运算.在直角坐标系中,矢量A可表示为
A=Axi+Ayj+Azk
dA=dAxi+dAyj+dAzk
A·dA=AxdAx+AydAy+AzdAz=
为更好地理解不同情况下矢量与矢量微分之间的标积结果,可以用较为熟悉的情况加以理解,例如,位矢和速度的关系.v=,速度和位矢微分的方向一致,而我们较为熟悉位矢和速度的方向关系,因此,利用位矢和速度的方向关系便于理解矢量和矢量微分之间的关系.如任意曲线运动(含直线运动)中,速度的方向总是沿着质点运动轨迹的切线方向,这里需要注意,切线方向并不一定和位矢方向垂直.但是如果质点做圆周运动,以圆心为原点,质点的速度方向沿着轨迹切线方向,那么r⊥v,即位矢和位矢微分垂直,r⊥dr,这时r·dr=0.这里由于质点做圆周运动,其位矢大小不变,始终为半径长度,其方向不断变化,这时r·dr=0,这种情况就是矢量大小不变,而方向变化,矢量和矢量微分之间的标积为零.至于一般曲线运动(含直线运动),位矢大小始终在变,速度的方向总是沿着质点运动轨迹的切线方向,位矢方向和速度方向并不满足垂直的关系,因此r·dr=rdr≠0.
从上面几种情况可以看出,当矢量A大小不变仅仅方向改变时,A与其微分dA之间的标积为零,即A·dA=0;当矢量A大小变化,A与其微分dA之间的标积满足关系式A·dA=AdA≠0.初学者对于A·dA标积结果产生困惑的原因主要是由于对矢量A的矢量性理解不够,易忽略其方向改变导致微分dA的产生.初学者在学习过程中应加强对矢量A的矢量性理解,即A大小和方向的改变均可引起dA的产生.
1 尹国盛,夏晓智.大学物理简明教程(上).武汉:华中科技大学出版社,2009 .39
2 马文蔚,周雨青.物理学教程(第二版)上册.北京:高等教育出版社,2005 .62
3 漆安慎,杜婵英.普通物理学教程 力学(第二版).北京:高等教育出版社,2005 .471