基于时变电荷源计算空间电磁场的严格推导

朱 峰，杨 抗

(西南交通大学电气工程学院，四川成都610031)

0 引言

在工程电磁场教学中，单元辐射子是研究天线辐射的基础，因此推导出单元辐射子的电场强度和磁场强度具有重要意义。单元辐射子的磁场强度一般是从矢量磁位求旋度计算而来，而电场强度可由三种途径推导出来。

由于有

1 问题的提出

单元辐射子为一既细又短的导线，它的长度Δl和横截面尺寸都比电磁波的波长以及到观察点距离小得多。因此，在单元辐射子上，可以忽略推迟效应，认为通过单元辐射子的电流是均匀和同相的，另外任一观察点到细导线上各点的距离近似相同[3]。由电荷守恒dq/dt=i，用向量形式表示得到因此可以得到

标量位的散度为

计算出来的电场强度与用另外两种方法计算出的电场强度的结果不同[1-6]，因此用点电荷计算标量位存在问题。

2 严格的理论推导

本文认为对电流密度散度的理解是解决上述问题的关键。即便是在微观世界，也不能够简单理解为只有一维方向。如图1所示，S表示面积。电流元中间部分电流密度都连续，其散度都为零，但是在边界处电流密度发生突变，此时电流密度的散度不为零。笔者认为正是由于电流密度在其边界处发生突变，是不能把电流元当成一个点源计算的原因。

图1 电流元

2.1 推导标量位与电流密度散度的关系

2.2 标量位由正负时变电荷产生的证明

如图1所示，电流密度在电流源内部连续，只有在其边界处发生突变，因此在电流源的内部时有在电流源的两截面S1和S2处有于是有

如图1所示，可以推导出

如图2所示，可以推导出

图2 电振子

将 r1，r2，1/r1，1/r2泰勒展开，忽略高阶无穷小[7]，得到

2.3 由时变电荷计算辐射子的电磁场强度

利用球坐标系中求梯度的公式

由电荷守恒以及公式(4)可得

可以推导出洛伦兹规范:

利用时变电荷源计算出来的电场强度和磁场强度与用另外两种方法计算出的电场强度和磁场强度相同，说明空间电荷也可以当做是计算场的基本源。文献[7]也提出了利用一对正负时变电荷计算单元辐射子电场强度的计算过程，但是其未对用该方法计算电源辐射子电场强度的合理性进行证明。而且文中的磁场强度仍然是从时变电流源也就是利用动态磁位的方法求得，而本文则是先计算单元辐射子的电场强度，再计算其磁场强度。同时对该文献中公式(27)的结果进行指正，由该文的计算方法，得到的结果应为

此式与式(3)比较可以发现，计算的结果存在明显不同。

3 结语

本文深入分析了利用时变电荷源计算单元辐射子电场强度和磁场强度的合理性和求解路径，得出以下结论:

(1)直接用标量位计算单元辐射子的电场强度时应该用电振子的标量位，而不是单电荷的标量位。

(2)用电振子的标量位代替单电荷的标量位，原因在于电流元的电流密度在其边界处发生突变，此时电流密度的散度不为零。

(3)电流不一定是时变场的根本源。计算电场场强时，可以从时变电荷源入手，利用电荷守恒从而计算出电流分布的变化，空间电荷也可以是计算场的基本源。

[1]William H.Hay，Jr.John A.Buck.Engineering Electromagnetics.[M](Seventh Edition).Mcgraw-Hill Compannies，Inc.2006

[2]Nannapaneni Narayana Rao.Elements of Engineering Electromagnetics.[M].(Sixth Edition).Person Education，Inc.200

[3]冯慈璋.电磁场.(第二版).[M].北京:高等教育出版社.1980.

[4]杨儒贵.电磁场与电磁波.(第二版).[M].北京:高等教育出版社.2007

[5]陈抗生编著.电磁场理论与微波工程基础.[M].浙江:浙江大学出版社2009

[6]陈重.崔正勤.胡冰编著.电磁场理论基础.[M].北京:北京理工大学出版社.2010

[7]王泽忠.单元辐射子电场强度的三种推导.[J].南京:电气电子教学学报2008(8)