王丽丽,朱伟义
(浙江师范大学 数理信息工程学院,浙江金华321000)
有关次幂原数函数的若干性质
王丽丽,朱伟义
(浙江师范大学 数理信息工程学院,浙江金华321000)
对于任意给定的正整数n,p次幂原数函数Sp(n)表示使pn|m!的最小正整数m,即Sp(n)=m in{m:pn|m!},其中p为素数。对给定的正整数k,用初等方法研究了函数Sp(nk)与Sp(n)之间的关系,以及Sp(n)的值与项数n的对应关系,得到了。
p次幂原数函数;初等方法;渐近公式
任意给定一个素数p,对于任意的正整数n,定义p次幂原数函数Sp(n)为使pn|m!的最小的正整数m,即Sp(n)=m in{m:pn|m!},例如,S2(1)=2, S3(1)=3,S2(2)=S2(3)=4,S3(2)=6,S3(3)=S3(4)=9,……。数论专家F.Smarandache教授在文献[1]中建议研究序列{Sp(n)}的相关性质。不少作者已经对该问题进行了研究,并得到了一些有意义的结论[1-5]。例如,文献[2]给出了一个有关序列{Sp(n)}的渐近公式,即对任意给定的素数p和任意正整数n,有:
文献[3]得出结论:对于任意实数x≥2,设p为一个素数,那么有
文献[4]研究了序列{Sp(n)}与Riemann zeta-函数之间的关系,给出了有关函数Sp(n)的一个恒等式,即对于任意Res>1的复数s和素数p,有
这里ζ(s)为Riemann zeta-函数。
文献[5]研究了函数Sp(n2)与Sp(n)的关系,给出了对任意给定一个素数p及正整数n,当,有
其中[x]表示x的整数部分。
本文首先对文献[5]做了进一步推广,研究了函数Sp(nk)与Sp(n)之间的关系,再进一步研究了序列{Sp(n)}中Sp(n)的值与项数n的对应关系,并且给出以下两个的结论:
定理1任意给定一个素数p,对于任意正整数n和k,k≥2,如果,则有,其中[x]表示x的整数部分。
定理2任意给定一个素数p,对任意正整数k,q,若不整除q,则有唯一的正整数n使得Sp(n)+ Sp(n+1)=…=Sp(n+k-1)=pkq成立,且有。
为了证明结论,先证明两个引理:
引理1对于任意素数p和正整数2≤l≤p-1,有
a)Sp(n)=np,1≤n≤p;
b)Sp(n)=(n-l+1)p,(l-1)p+l-2<n≤lp+l-1。
证明证明参见文献[5]。
引理2对于任意素数p和正整数k, k≥2,如果pk-2<n≤pk,有Sp(n)=(n-pk-1+ 1)p。
证明要证明引理2,只须证明pn||((n-pk-1+ 1)p)!。由条件pk-2<n≤pk,则有
于是就有
从而当pk-2<n≤pk时,有pn||((n=pk-1+1)p)!,这就证明了
Sp(n)=(n-pk-1+1)p。
引理3设n是正整数,p是素数,再设α满足pn||n!,那么。
证明证明参见文献[6]。
定理1的证明假设Sp(nk)=up,根据引理3以及Sp(n)的定义,有
分两种情况进行讨论。
第一种情况,如果(l-1)p+l-2<nk≤lp+l-1(l= 2,3,…,p-1),则由引理1可知
又由假设Sp(nk)=up,从而有u=nk-l+1。注意到。则(1)式就成为。
第二种情况,如果p2-2<nk≤p2,根据引理2就有
结合假设Sp(nk)=up和(3)式,则有u=nk-p+1,与引理2的证明类似,并注意到。所以(1)式就成为。
由此,可以得出当p<nk≤p2时,有
定理2的证明设m=pkq,易知在数列{Sp(n)}中m重复出现了k次。故当p和m给定时,上述方程有唯一的解。
由Sp(n)的定义可知,
所以,任意给定一个素数p和一个正整数m(m= kp),可以确定m在序列{sp(n)}中所对应的项数n。
[1]Smarandache F.Only Problems,Not Solutions[M]. Chicago:Xiquan Publishing House,1993:41-42.
[2]Zhang W P,Liu D S.On the primitive numbers of power p and its asymptotic property[J].Smarandache Notions Journa l,2002,13:171-175.
[3]Yi Y.On the primitive numbers of power p and its asymptotic property[J].Scientia Magna,2005,1:175-177.
[4]Xu Z F.Some arithmetical properties of primitive numbers of power p[J].Scientia Magna,2006,2:9-12.
[5]Yang CD,Chen Guohui.The relationship between and[J].Pure and Applied Mathematics,2007,3:31-34.
[6]Pan CD,Pan Chengbiao.The Elementary Number Theory[M].Beijing:Beijing University Press,2003:64.
(责任编辑:李堆淑)
Some Properties of Prim itive Function of Power
WANG Li-li,ZHU Wei-yi
(School of Mathematical lnformational Engineering,Zhejiang Normal University,Jinhua 321000,Zhejiang)
Let p be a fixed prime,for any positive integer n,the primitive function of power p is defined as the smallest positive integer m such that pn|m!.That is,Sp(n)=m in{m:pn|m!},where p is a prime.Some properties of Sp(n)is studied by using elementary methods,and two conclusions ofare obtained.
primitive function of power p;elementary method;asymptotic formula
O156.2
:A
:1674-0033(2014)04-0025-02
10.13440/j.slxy.1674-0033.2014.04.06
2014-04-11
国家自然科学基金项目(11271331)
王丽丽,女,浙江金华人,硕士研究生