半空间上Boussinesq方程组弱解的L2衰减估计

刘艳梅,高巧琴

半空间上Boussinesq方程组弱解的L2衰减估计

刘艳梅,高巧琴

(吕梁学院数学系,山西离石033000)

主要研究外力函数f满足一定条件时,半空间上Boussinesq方程组当n≥3时弱解的L2衰减.先假设解光滑,给出了光滑解的一致L2衰减估计,再通过构造逼近解,对逼近解序列作一致衰减估计,取极限得到弱解的一致L2衰减估计.

Boussinesq方程组;弱解;L2衰减

1 引言

Boussinesq方程组是流体方程中一类重要的方程,它是流体速度场与温度场耦合而成的方程.本文主要讨论当n≥3时,Boussinesq方程组在×(0,∞)上弱解的衰减率问题:

其中n表示空间维数,u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t),···,un(x,t))表示流体速度向量,θ(x,t)表示温度,p(x,t)表示压力函数,f(x,t)=(f1(x,t),f2(x,t),···,fn(x,t))表示外力,u0,θ0表示初始流体速度和温度,γ≥0和ε≥0分别是流体粘性系数和导数系数.当γ,ε都大于零时,(1.1)称为粘性Boussinesq方程组,当γ=ε=0时,(1.1)称为无粘Boussinesq方程组.

近年来,有关Navier-Stokes方程组及Boussinesq方程组已有一些研究结果.文献[1]给出了三维Navier-Stokes方程组的弱解在L2空间上的衰减估计;文献[2]给出了Navier-Stokes方程解的下界估计;文献[3-6]研究了Navier-Stokes方程时空衰减;文献[7]给出了Boussinesq方程组弱解的L2衰减;文献[8]讨论了Boussinesq方程组的正则性问题;文献[9]研究了Boussinesq方程组的时空衰减.

本文假设γ=ε=1,即

2 预备知识

为研究Boussinesq方程当n≥3时弱解的衰减率,需通过对逼近解序列作一致估计,然后取极限得到.因此,先给出Boussinesq方程逼近解的构造方法及相应性质,其证明完全类似于文献[10]中相关结果证明,故略去.

对于n≥3,考虑逼近解uk,θk,k=1,2,···,则有下列方程组:

其中

(1)P:Lr→,1

(2)uk∈L∞(0,T;)∩L∞(0,T;V),V是()在的闭包.

(3)A=−P△,A是Navier-Stokes算子,A=λdE(λ)是A在的谱分解,其中{E(λ):λ≥0}是算子A的谱族.

对于方程(2.1)的逼近解,有如下性质成立.

引理2.1(1)对于所有的T>0,方程(2.1)存在唯一弱解:

(2)wk及其导数在×[0,T],T>0上是连续有界的,且满足∇·wk=0,对任意

(6)以下能量不等式成立:

(7)对(1.1)式的第二个方程,有

证明在方程组(2.1)的第一个方程两边同时乘以uk,第二个方程两边同时乘以θk,并在Ω上积分,得

相加得,

由Growall不等式得,

引理2.2[10]∀ρ>0,∥E(ρ)P(w·▽)u∥2≤cρn+24∥w∥2∥u∥2,其中c与u,w,ρ无关.

3 主要结果

定理3.1设若

则问题(1.1)存在弱解u,θ,对于n≥3,有

为证明上述定理,先考虑问题(2.1)光滑解的衰减估计,再对(2.1)所构造的逼近解进行衰减估计,通过取极限得到定理的证明.本文对逼近解序列(2.1)作衰减估计,为书写方便,记uk=u,θk=θ,wk=w,且得到的衰减估计关于k是一致的.

证明由能量不等式

可知,对于固定的ρ>0,

下证(3.2)的第一个式子.由Stokes算子的谱表示,有

(3.2)的第二个式子可类似得到.所以

为了估计(3.3)的右端,考虑(2.1)式的积分型:

由Minkowski不等式和引理2.2有:

由Gagliardo-Nirenberg不等式,有

即

类似可得,

这样就有,

所以

同理可得,

由(3.4)-(3.7)式,得

同理可得,

将(3.8)式,(3.9)式代入(3.3)式,得

取ρ=αt−1,α>0,并在上面不等式的两边同乘以tα,得

关于t从0到t积分,并在所得不等式两边同除以tα,得

利用Stokes算子的(Lr−Lq)估计,有

对于n≥3,取α充分大,由(3.11)式和(3.12)式及定理假设,得

若

取ρ=αt−1,并在上面不等式的两边同乘以tα,得

若

[1]Soconbek M E.L2decay for weak solutions of the Navier-Stokes equations[J].Arch.Rat.Mech.Anal., 1985,88:209-222.

[2]Soconbek M E.Lower bounds of rates of decay for solutions to the Navier-Stokes equations[J].Journal of the Ameerican Mathematical Society,1991,4(3):809-823.

[3]He C.Weighted energy inequalities for nonstationary the Navier-Stokes equations[J].J.Dif f erential equation, 1998,148:422-444.

[4]He C,Xin Z.On the decay properties of solutions to the non-stationaty Navier-Stokes equations in R3[J]. Proc.Roy.Soc.Edinburgh(Sect A),2001,131:597-619.

[5]Bae H O,Jin B J.Temporal and spatial decays for the Navier-Stokes equations[J].Soc.Edinburgh(Sect A),2005,135:461-477.

[6]Bae H O,Jin B J.Upper and lower bounds of temporal and spatial decays for the Navier-Stokes equations[J]. J.Dif f erential equation,2005,209:365-391.

[7]刘颖.Boussinesq方程组弱解的L2衰减[D].北京:首都师范大学图书馆,2005.

[8]李明杰.Boussinesq方程组解的正则性问题研究[D].北京:首都师范大学图书馆,2006.

[9]汪彩云.Boussinesq方程组时空衰减性质研究[D].北京:首都师范大学图书馆,2006.

[10]Borcherd W,Miyakawa T.L2decay for the Navier-Stokes f l ow in half spaces[J].Math.Ann.,1998,282:139-155.

The L2decay of the weak solution of the Boussinesq equations in half space

Liu Yanmei,Gao Qiaoqin
(Department of Mathematics,Lvliang College,Lishi033000,China)

This paper is mainly concerned with the L2decay the weak solution of the Boussinesq equations in half space under the appropriate assumption of the external force f.Frist the paper gives uniform L2decay estimate of smooth solution under the assumption that the solution is smooth.Then the paper construcs approximate solution and gives uniform decay estimate of the approximate solution.Finally,the theorem is proved by taking limit.

Boussinesq equations,weak solution,L2decay

O175.2

A

1008-5513(2014)06-0587-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.007

2014-09-01.

山西省教育厅教学改革项目(J2011101).

刘艳梅(1978-),硕士,讲师,研究方向：微分方程.

2010 MSC:38Q80