一类具有非线性收获率的捕食者-食饵生态经济系统的分支分析

刘唯一，傅朝金，陈静，柯于胜

(1.咸宁职业技术学院 机电工程系，湖北 咸宁 437100;2.湖北师范学院 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

一类具有非线性收获率的捕食者-食饵生态经济系统的分支分析

刘唯一1，2，傅朝金2，陈静2，柯于胜2

(1.咸宁职业技术学院 机电工程系，湖北 咸宁 437100;2.湖北师范学院 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

研究了一类捕食者-食饵生态经济模型的动力学行为．该模型具有非线性收获率，这使得模型更具一般性．选取经济利润v作为分支参数，通过局部参数化方法，Hopf分支理论和形式级数方法研究了系统的Hopf分支．同时，改进的参数化计算过程更简单，能够处理更复杂的模型．最后，通过MATLAB仿真证明了我们的结果．

微分代数方程；稳定性；Hopf分支；非线性收获率；改进的算法

0 引言

近年来，捕食者-食饵生态经济系统受到数学工作者的广泛关注和深入研究．文献[1～4]研究了建立在微分方程基础上具有人为收获的捕食者-食饵系统，得到了复杂的动力学行为，如平衡点的稳定性[1～3]，Hopf分支[2]，Bogdanov-Takens分支[3]，极限环[1，3，4]等．文献[5～8]给出了基于微分代数方程的捕食者-食饵生态经济系统，系统地研究了奇异诱导分支[6]，状态反馈控制[6]，鞍结分支[6～8]等．文献[9～11]研究了具有线性收获率的捕食者-食饵生态经济系统的中心稳定性和Hopf分支．然而，线性收获率只是一种理想化的情形．本文研究一类具有非线性收获率的系统，模型如(1)式

(1)

内讨论系统(1)．

本文将对系统(1)进行定性研究，以经济利润v作为分支参数，通过参数化方法，Hopf分支理论和形式级数方法讨论系统的Hopf分支，然后通过MATLAB数值模拟验证结果的正确性和合理性。

1 Hopf分支分析

为了方便，令

对于系统(1)，易求得平衡点为

在文献[9～11]中，作者均对原系统作了一个线性变换，转而去分析变换后系统，事实上这是多余的，而且会导致后面的计算量增大．如果模型比较复杂，则很难计算出结果．所以我们去掉了这一过程而直接分析系统(1)．

现考虑如下所定义的系统(1)的局部参数化Ψ：

X=Ψ(v,Y)=X0(v)+U0Y+V0h(v,Y),g(v,Ψ(v,Y))=0

其中

h:2→是一个光滑映射．于是(1)的参数化系统为

即

(2)

关于上述参数化系统(2)的详细定义可参见文献[12]．系统(1)的正平衡点X0对应于参数化系统(2)的平衡点Y=0，参数化系统(2)在平衡点Y=0 处的特征方程为

λ2+a1(v)λ+a2(v)=0

(3)

其中

如果方程(3)存在零实部的特征根，系统(1)将会发生Hopf分支．

现在我们选择经济利润v作为分支参数来研究系统(1)的Hopf分支．在方程(3)中，令a1(v)=0，得分支值v0，满足

事实上，如果令a12(v)<4a2(v) ，方程(3)有一对共轭根：

为了计算Hopf分支，根据文献[12，13]，当v=v0，X=X0时，需要求出系统(1)的如下标准型

(4)

可以证明参数化系统(2)当v=v0,X=X0时可写为

(5)

由链式法则可求得

f2y1y2y2(v0,X0)=0f2y2y2y2(v0,X0)=0

对比(5)和(4)，现对(5)进行如下非奇异线性变换

这样就求出了标准型(4)的全部非零系数，其中

根据Hopf分支理论[13]，需要计算16σ0的值．

由上面的结果，有如下定理

定理1 对系统(1)，存在一个正常数ε和正平衡点X0(v)的两个充分小的邻域O，P，其中0<ε≪1,O⊂P．

情形1：如果16σ0>0，那么

1) 当v0

情形2：如果 16σ0<0，那么

1) 当v0-ε

2 数值仿真

例 我们取系统(1)的系数如下

a=0.5，b=2,d=2,r=1,p=4,c=1,k=2,m=0.1

于是系统(1)为

(6)

容易求得正平衡点为X0=(0.5000000，0.6779619,0.3381400)T,分支值为v0=0.30594 ．由定理1，当vv0时，X0(v)是不稳定的．

在图1中，系统(6)的平衡点X0(v) 是局部渐近稳定的．在图2中，系统(6)在X0(v) 处产生一个周期轨道．在图3中，系统(6)的平衡点X0(v) 是不稳定的．

图1 当初值为x0=0.499 ，y0=0.666,e0=0.333 ，经济利润v=0.27999

图2 当初值为x0=0.499，y0=0.666，e0=0.333，经济利润v=0.30590

图3 当初值为x0=0.499,y0=0.666,e0=0.333,经济利润v=0.31890>v0时的Hopf分支图

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Bifurcationanalysisofapredator-preybiologicaleconomicsystemwithnonlinearharvestingrate

LIU Wei-yi1，2，FU Chao-jin2，CHEN Jing2，KE Yu-sheng2

(1.Department of Mechanical and Electrical Engineering，Xianning Vocational Technical College，Xianning 437100，China;2.College of Mathematics and Statistics，Hubei Normal University，Huangshi 435002，China)

In this paper，we analyze a biological economic system with harvesting effort on prey．Different from previous researchers' models，this model with nonlinear harvesting rate is more general．By employing local parameterization method，Hopf bifurcation theory and the formal series method，the Hopf bifurcation of the proposed system is investigated．Here we choose economic revenue as a positive bifurcation parameter．And the improved calculation process of parameterization is much more simple and it can handle more complex models which could not be dealt with by previous algorithms due to extensive calculation．Finally，by MATLAB simulation，the validity and feasibility of obtained results are illustrated．

differential-algebraic equations；stability；Hopf bifurcation；nonlinear harvesting rate；improved algorithm

2013—12—11

刘唯一(1979— )，男，湖北黄石人，硕士研究生，主要研究方向为微分方程与控制论.

O193

A

1009-2714(2014)02- 0046- 06

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.011