拟半Hausdorff度量空间中集值映像的不动点定理

黄东琴, 柴国庆，常思进

(湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002)

拟半Hausdorff度量空间中集值映像的不动点定理

黄东琴, 柴国庆，常思进

(湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002)

给出了拟半Hausdorff度量的定义, 证明拟半度量空间中拟半Hausdorff度量的一些性质, 并利用这些性质证明了拟半度量空间中集值映像的不动点定理.

拟半Hausdorff度量; 不动点; 集值映像

0 引言

半度量空间是对度量空间的推广, 即把度量空间中的条件d(x,x)=0替换成d(x,x)≤d(x,y),半度量空间的定义和相关性质最先是由Matthews[1，2]提出的. 拟半度量空间又是对半度量空间的推广, 它是在半度量空间的基础上减少对称性这个条件, 即不要求d(x,y)=d(y,x) . 本文是在已有的关于拟半度量空间的研究[1]，[3],[4]的基础上, 给出拟半度量空间中拓扑球的定义和拟半Hausdorff度量的定义, 并且证明了拟半度量空间中的集值映像的不动点定理.

1 预备知识

定义2 设X是任意非空集合, 集值映像T:X→CB(X) . 如果存在0≤k<1, 对任意的x,y∈X,有H(Tx,Ty)≤kd(x,y), 我们就说T是压缩的集值映像.

定义3[6]设X为非空集合, 对任意的x,y,z∈X,如果映像q:X×X→+满足下列条件：

1) 如果0≤q(x,x)=q(x,y)=q(y,y), 那么x=y,

2)q(x,x)≤q(x,y) ,

3)q(x,x)≤q(y,x) ,

4)q(x,z)+q(y,y)≤q(x,y)+q(y,z) .

则称q为X上的一个拟半度量,(X,q) 为拟半度量空间.

X上的每个拟半度量都在开球的基础上都生成一个拓扑. 其中对任意的x∈X,ε>0,我们将开球Bq(x,ε) 定义为

Bq(x,ε)={y∈X:max{q(x,y),q(y,x)}

显然, 若q是X上的一个半度量, 那么对映像qs:X×X→+定义 ,qs(x,y)=q(x,y)+q(y,x)-q(x,x)-q(y,y), 则qs是X上的一个度量.

定义4[6]设(X,q) 是一个拟半度量空间, 那么有下列命题成立:

4) 设映像f:X→X,x0是X中任意一点. 如果对任意的ε>0, 存在δ>0, 使得f(B(x0,δ))⊂

B(f(x0,ε)) , 那么我们称映像f在x0连续.

引理1[6]设(X,q) 是一个拟半度量空间,(X,qs) 是相应的度量空间, 那么下面的命题等价.

1) {xn} 是(X,q) 中的柯西列.

2) {xn} 是(X,qs) 中的柯西列.

引理2[2]设(X,q) 是一个拟半度量空间, (X,qs)是相应的度量空间, 那么下面的命题等价.

1) (X,q) 是完备的.

2)(X,qs) 是完备的.

并且

下面的引理对于证明主要结论有重要作用.

引理3[5]设(X,q) 是一个拟半度量空间, 那么下面的命题成立.

1) 如果q(x,y)=0或者q(y,x)=0, 那么x=y.

2) 如果x≠y, 那么q(x,y)>0 且q(y,x)>0 .

2 拟半度量空间中的拟半Hausdorff度量

设 (X,q)是一个拟半度量空间,CBq(X) 是X的所有非空有界闭子集所组成的集合.其中闭是相对于(X,τq)(τq是由q生成的拓扑)而言, 有界定义如下：任意A⊂X, 如果存在x0∈X和M≥0, 使得对任意α∈A,有a∈Bq(x0,M),即max{q(a,x0),q(x0,a)}

为了证明本文的主要结论, 我们首先给出一些新的定义. 下面我们给出拟半度量空间中,拟半Hausdorff度量的定义.

定义5 对∀A,B∈CBq(X) 和∀x∈X, 定义

显然Hq是X上的一个拟半度量, 称为X上的拟半Hausdorff度量.

(1)

(2)

又因为对任意j∈,q(a,xnkj)≥q(a,a),q(xnkj,a)≥q(a,a)

(3)

由式(2)和式(3), 我们得到

(4)

另一方面

下面介绍映像δq:CBq(X)×CBq(X)→+的性质.

命题1 设(X,q) 是一个拟半度量空间, 对任意A,B,C∈CBq(X) 以下结论成立：

2)δq(A,A)≤δq(A,B) ；

3)δq(A,B)=0⟹A⊆B.

3) 假设δq(A,B)=0. 那么对任意的a∈A,有q(a,B)=0. 由前面的证明得, 对任意的a∈A, 有

命题2 设 (X,q)是一个拟半度量空间,A,B∈CBq(X), 以下结论成立：

Hq(A,B)=0⟹A=B

证明 假设Hq(A,B)=0, 由定义知δq(A,B)=δq(B,A)=0 . 又由命题1的(3)知A⊆B, 且B⊆A, 因此A=B.

3 主要结果

引理5 设(X,q) 是一个拟半度量空间,A,B∈CBq(X) ,h>1,那么对任意的a∈A, 存在b=

b(a)∈B, 使得

证明 如果A=B. 由命题1的(1)知,

设a∈A. 由于h>1, 所以

因此, 取b=a, 引理5成立.

如果A≠B. 假设存在a∈A, 对所有的b∈B, 有

即q(a,B)≥hH4(A,B) .

(5)

由于A≠B, 由命题1得Hq(A,B)≠0. 所以由式(5)得h≤1, 这与题设条件矛盾.

定理1[2]设(X,p) 是一个半度量空间,T:X→CBq(X) 是集值映像. 如果存在k∈(0,1), 使对任意的x,y∈X, 有

Hp(Tx,Ty)≤kp(x,y)

那么T有一个不动点.

下面证明我们的主要结论.

定理2 设(X,q) 是一个拟半度量空间,T:X→CBq(X) 是集值映像. 如果存在k∈(0,1) , 使对任意的x,y∈X, 有

Hq(Tx,Ty)≤kq(x,y)

那么T有一个不动点.

又因为Hq(Tx0,Tx1)≤kq(x0,x1),Hq(Tx1,Tx0)≤kq(x1,x0)

(6)

由式(6)得

易知, 对x2∈Tx1, 存在x3∈Tx2使得

又因为Hq(Tx1,Tx2)≤kq(x1,x2),Hq(Tx2,Tx1)≤kq(x2,x1)

(7)

由式(7)得

继续下去, 我们得到X中的序列{xn} . 其中xn+1∈Txn且对所有的n≥1 有

(8)

由式(8)和数学归纳法, 对所有的n≥1 , 我们有

(9)

由式(9)和拟部分度量空间的性质4, 对任意的m∈*, 有

由qs的定义知, 对任意的m∈*, 有

qs(xn,xn+m)≤q(xn,xn+m)+(xn+m,xn)→0(n→+∞)

(10)

由已知Hq(Txn,Tx*)≤kq(xn,x*) , 所以

(11)

又因为xn+1∈Txn, 所以q(xn+1,Tx*)≤δq(Txn,Tx*)≤Hq(Txn,Tx*) .

另一方面,

q(x*,Tx*)≤q(x*,Txn+1)+q(xn,Tx*)

(12)

对式(12)两边取极限并由式(11)和式(12)得,q(x*,Tx*)=0. 因此, 由式(10)(q(x*,x*)=0)得q(x*,x*)=q(x*,Tx*) . 由引理4知,x*∈Tx*.

{0} 和{0,1} 都是(X,q) 中的闭集. 事实上, 如果x∈{0,1,4} , 那么

所以{0} 是X中的闭集.

所以{0,1} 是X中的闭集.

定义映像T:X→CBq(X) 为T(0)=T(1)={0} 和T(4)={0,1} .

Hq(Tx,Ty)=Hq({0},{0})=0

所以显然满足压缩条件.

对x∈{0,1},y=4 . 我们有

对x=y=4.我们有

容易看出, 所有情况都满足定理2的压缩条件. 这里,x=0 是T的一个不动点.

[1]Matthews S G.Partial metric topology[R].Report 212, Department of Computer Science, University of Warwick, 1992.

[2]Matthews S G.Partial metric topology[C]．General topology and it's Applications, in:Proceedings of the 8th Summer Conference, Queen's College(1992), Annals of the New York Academy of Sciences,1994,728:183～197.

[3]Ahmad J,Azam A,Arshad M. Fixed point of multivalued mappings in partial metric spaces[J].Fixed Point Theorey and Applications, 2013, 2013:316.

[4]Shatanawi W,Pitea A.Some coupled fixed point theorems in quasi-partial metric spaces[J].Fixed Point Theorey and Applications, 2013, 2013:153.

[5]Nadler S B Jr. Multi-valued contraction mappings[J].Pacific J Math,1969,30:475～488.

[6]Karapinar E, Erhan I M ,Ozturk A.Fixed point theorems on quasi-partial metric metric spaces[J]. Mathematical and Computer Modelling,2013,57:2442～2448.

[7]Aydi H, Abbas M, Vetro C. Partial Hausdorff metric and Nadler's fixed point theorem on partial metric spaces[J]. Topology and its Applications, 2012,159:3234～3242.

Fixedpointtheoremformultivaluedmappinginquasi-partialHausdorffmetricspace

HUANG Dong-qin, CHAI Guo-qing , CHANG Si-jin

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

In this paper, we give the definition of the quasi-partial Hausdorff metric and prove some properties of quasi-partial Hausdorff metric in quasi-partial metric space. We also use these properties to prove the fixed point theorem of the multi-valued mappings in quasi-partial metric space.

quasi-partial Hausdorff metric; fixed point; multi-valued mappings

2014—01—20

黄东琴(1990— )，女，河南平舆人，硕士研究生，主要研究方向为泛函分析.

O177.91

A

1009-2714(2014)02- 0052- 06

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.012