锥 b-度量空间中广义拟压缩映射的不动点定理

石 露，韩 艳

(1.湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002; 2.昭通学院 数学与统计学院，云南 昭通 657000)

锥 b-度量空间中广义拟压缩映射的不动点定理

石 露1，韩 艳2

(1.湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002; 2.昭通学院 数学与统计学院，云南 昭通 657000)

锥b-度量空间；广义拟压缩映射；有界集；不动点

1 预备知识

设E是实Banach 空间,θ是E中零元,P是E的子集, 称P是E中的锥, 若满足

i)P是非空闭凸集;

ii)x∈P且λ≥0 则λx∈P;

iii)x∈P且-x∈P, 则x=θ.

设P是E中的锥,≤是在P中定义的半序, 即∀x,y∈E, 若x≤y, 则y-x∈P. 若x≪y(∀x,y∈E) , 则y-x∈intP. 锥P称为正规锥的充要条件为存在最小的常数K>0, 使得θ≤x≤y(∀x,y∈E) 蕴含‖x‖≤K‖y‖ , 其中K为正规常数.

定义1[8]设X是一个非空集合. 若映射d:X×X→E满足

i)θ≤d(x,y)∀x,y∈X,d(x,y)=θ当且仅当x=y;

ii)d(x,y)=d(y,x)∀x,y∈X;

iii)d(x,y)≤sd(x,z)+sd(z,y),∀x,y,z∈X.

则称d是X的一个锥b-度量.(X,d) 称为锥b-度量空间及常数s≥1 . 显然,锥b-度量空间是锥度量空间和度量空间的拓广和延伸。

定义2[8]设 (X,d)为锥b-度量空间及常数s≥1,x∈X且{xn}n≥1是X中的一个序列, 则

i) 若对任意的c∈intP, 存在正整数N使得对所有的n,m>N,d(xn,xm)≪c, 则称{xn}n≥1为Cauchy列.

ii)若对任意的c∈intP, 存在正整数N使得对所有的n>N,d(xn,x)≪c, 则称{xn}n≥1为收敛列.

iii)若X中的每个Cauchy列都收敛, 则称 (X,d)为完备的锥b-度量空间.

引理 1[8]设 (X,d)为锥b-度量空间及常数s≥1. 下面性质用于处理非正规锥条件下锥b-度量空间中的不动点问题.

1) 若对任意c∈intP,θ≤u≪c，则u=θ；

2) 若对任意c∈intP,a≤b+c，则a≤b；

3) 若θ≤d(xn,x)≤bn且bn→θ，则xn→x；

4) 若a≤λa，其中a∈P且0<λ< 1, 则a=θ；

5) 若对任意c∈intP,an→θ, 则存在n0∈+使得对所有n>n0,an≪c.

引理2[8]锥b-度量空间中收敛序列的极限是唯一的.

设E是实线性空间并定义半序“ ⪯”,x∈E,A⊂E, 且λ是非负实数.x⪯A和x⪯λA分别表示存在s∈A使得x⪯λs.且存在s∈A使得x⪯λs. 而且coA表示A的凸包 (见文[4]). 映射f:X→X在x∈X的轨道如下

O(x,n)={x,fx,f2x,f3x,…,fnx}且O(x,∞)={x,fx,f2x,f3x,…,fnx,…}.

引理3[4]1) 设E是实线性空间并定义半序“⪯ ”,x,x1,x2,…,xn∈E且0≤λ≤μ≤1. 若x⪯λco{0,x1,x2,…,xn} , 则x⪯μco{0,x1,x2,…，xn} ;

2) 设E是实线性空间并定义半序“⪯ ”,x,x1,x2,…,xn∈E且0≤λ≤1. 若x⪯λco{0,x,x1,x2,…,xn} , 则x⪯λco{0,x1,x2,…,xn} ;

3) 设E是实线性空间并定义半序“ ⪯”,x,x1,x2,…,xn,y,y1,y2…,ym∈E且0≤λ,μ≤1,若x⪯λco{0,x,y,x1,x2,…,xn},y⪯λco{0,x,y1,y2,…,ym}且 ,则x⪯λco{0,x,x2,…,xn,y1,y2,…,ym} ;

4) 设E是实线性空间并定义半序“⪯ ”，x,x1,x2,…,xn,y,y1,y2…,ym∈E且0≤λ,μ≤1, 若x⪯λco{0,x,y,x1,x2,…,xn},y⪯λco{0,x,y1,y2,…,ym}则x⪯λco{0,x,x2,…,xn,y1,y2,…,ym} ;

5) 设E是实线性空间并定义半序“⪯ ”，x,x1,x2，…,xn,xi,yi1,yi2…,yimi∈E且0≤λ,μ≤1 若x⪯λco{0,x,y,x1,x2,…,xn},xi⪯λco{0,yi1,yi2,…,yimi}(i=1,2,3,…,n)且x⪯λμco{0,x1,x2,…，xn,yi1,yi2,…,yimi}(i=1,2,3,…，n).

2 主要结果

d(fx,fy)≤λco{θ,d(fx,fy),d(x,y),d(x,fx),d(y,fy) ，d(x,fy),d(y,fx)}

(1)

则称映射f为锥b-度量空间以及常数s≥1 中的广义拟压缩映射.

注：定义3 将度量空间中著名的Banach 压缩映射以及锥度量空间中的广义拟压缩映射推广到锥b -度量空间中的广义拟压缩映射.

定义4 设(X,d) 是锥b-度量空间以及常数s≥1. 若存在K∈P/{θ}⊂E使得对所有x,y∈A,d(x,y)⪯K，则集合A⊂X按半序“ ≤”有上界.

注: 如果锥是正规的并且集合按序有界，则该集合按范数有界(见文[6]).

证明 设点x∈X使得f有按半序“⪯ ”有上界的轨道, 即存在K∈P/{θ}⊂E使得对所有n∈, 有

d(fix,fjx)⪯K(0≤i

因此, 对所有n∈,y∈co{θ,d(fix,fjx);0≤i

(2)

对任意 0

d(fmx,fnx)≤λco{θ,d(fm-1x,fn-1x),d(fm-1x,fmx)

d(fn-1x,fnx),d(fm-1x,fnx),d(fn-1x,fmx)}

(3)

由(3)式, 我们证明

d(fmx,fnx)≤λco{θ,d(fix,fjx):m-1≤i

(4)

为方便起见,我们只证m:=m,:=m+3 的情况. 由(1)式,我们有

d(fmx,fm+3x)≤λco{θ,d(fmx,fm+3x),d(fm-1x,fm+2x),d(fm-1x,fmx)

d(fm+2x,fm+3x),d(fm-1x,fm+3x),d(fm+2x,fmx)}

d(fm+2x,fm+3x)≤λco{θ,d(fm+2x,fm+3x),d(fm-1x,fm+2x),d(fm+1x,fm+2x)

d(fm+2x,fm+3x),d(fm+1x,fm+3x),d(fm+2x,fm+2x)} ，

d(fmx,fm+2x)≤λco{θ,d(fmx,fm+2x),d(fmx,fm+1x),d(fm-1x,fmx)

d(fm+1x,fm+2x),d(fm-1x,fm+2x),d(fm+1x,fmx)} .

依据上面的不等式以及引理3, 我们得到

d(fmx,fnx)≤λco{θ,d(fix,fjx):m-1≤i

同样的, 反复利用(1)式及引理3, 我们可以得到(4)式.

由(4)式易得

d(fnx,fn+1x)≤λco{θ,d(fix,fjx):n-1≤i

再由(4)及引理3, 我们有

d(fnx,fn+1x)≤λnco{θ,d(fix,fjx):0≤i

同样的, 反复利用(4)式及引理3, 我们可以得到

d(fnx,fn+1x)≤λnco{θ,d(fix,fjx):0≤i

(5)

设Hn+r=co{θ,d(fix,fjx):0≤i

d(fnx,fn+px)≤sλnHn+1+s2λn+1Hn+2+…+spλn+p-1Hn+p≤sλnHn+1+s2λn+1Hn+2+…+spλn+p-1Hn+p=sλnco{θ,d(fix,fjx):0≤i

继而得到

现在证明fq=q. 由(1)式及引理3得对任意n∈+,

d(fnx,fq)≤λco{θ,d(fn-1x,q),d(fn-1x,fnx),d(q,fq),d(fn-1x,fq),d(q,fnx)}

d(fnx,fq)≤λ(sand(fn-1x,fnx)+sand(fnx,q)+bnd(fn-1x,fnx)+scnd(fnx,fq) +scnd(q,fnx)+send(fn-1x,fnx)+send(fnx,fq)+fnd(q,fnx))=λs(cn+en)d(fq,fnx)+λ(san+scn+fn)d(q,fnx)+λ(san+bn+sen)d(fn-1x,fnx)=λsd(fq,fnx)+λ(s+1)d(q,fnx)+λ(s+1)d(fn-1x,fnx)

因此有

因为fnx→q(n→∞) 且{fnx} 是X中的柯西列, 故对任意c∈intP, 存在n1∈使得对任意n≥n1, 有d(fn-1x,fnx)≪且d(fnx,q)≪. 再由引理1得d(fq,q)=θ，即fq=q. 故q是映射f的不动点.

假设w是映射f的另一不动点,w=fw. 那么由(1)式有

d(q,w)=d(fq,fw)≤λco{θ,d(q,w),d(q,fq),d(w,fw),d(q,fw),d(w,fq)}

因此,d(q,w)≤λd(q,w) . 由引理1得q=w, 即映射f在X中有唯一不动点.

证明 文 [3]中定理3的证明说明了拟压缩映射在X上每一点都有按半序“ ≤”有上界的轨道, 由定理1可知推论1的结论成立.

注：推论1推广了文[2] 的定理2.1和文 [3] 的定理3, 并且定理2推广了文[4] 的定理3，因为锥b-度量空间是锥度量空间的推广. 更重要的是定理1采用不一样的证明方法, 在非正规条件下解决了广义拟压缩映射的不动点的存在性以及唯一性问题, 此结果改进了文 [4] 的定理3.

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Fixedpointtheoremsforgeneralizedquasi-contractivemappingsinconeb-metricspaces

SHI Lu1， HAN Yan2

(1.College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China;2.College of Mathematics and Statistics,Zhaotong 657000,China)

In coneb-metric spaces that the constant satisfies , by removing the normality and using the bounded set with respect to a partial ordering, we obtain the existence and uniqueness of fixed point for generalized quasi-contractive mappings with the constant . Our main results generalize and improve some related important fixed point results.

coneb-metric space; generalized quasi-contraction; bounded set; fixed point

2013—12—28

湖北省教育厅重点科研项目(D20102502)

石露(1987— )，女，湖北黄石人，硕士研究生，主要从事非线性泛函分析的研究.

O177.97

A

1009-2714(2014)02- 0065- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.015