流体黏度的实验研究

俞天伦，马世红

(复旦大学 物理学系，上海 200433)

1 引 言

液体的黏性系数简称黏度，是描述液体内摩擦性质的重要的物理量，能够表征液体反抗形变的能力，而只有在液体内存在相对运动时才会表现. 在高等学校开设的大学物理实验课程中，测量黏度的常用方法有落球法[1]及毛细管法. 2种方法各有利弊：落球法对于小球的形状、质量以及放入量筒的位置要求较高，限于较高黏度的液体，例如蓖麻油；毛细管法对于已知黏度的液体要求较高(温度、杂质等)，限于较低黏度的流体且易于被清洗，例如水和酒精，且对仪器的维护困难. 本文基于泊肃叶公式，制作了简单的测量装置，可以实现低成本、测量范围可调、可控精度比较高的黏度测量.

2 实验原理及其装置

2.1 黏度与雷诺数

黏滞力是流体受到剪应力变形或拉伸应力时所产生的阻力，是黏性液体内部的流动阻力. 黏滞力主要来自分子间相互的吸引力.

剪切黏度：2个板块之间流体的层流剪切. 流体和移动边界之间的摩擦导致了流体剪切，描述该行为强度的是流体的黏度. 在一般的平行流动中，剪切应力τ正比于速度u梯度(图1)，即

式中η即黏度[2].

(1)式假设流动是沿着平行线的层流状态，并且垂直于流动方向的y轴指向最大剪切速度. 满足剪切应力-速度梯度线性关系方程的流体被称作“牛顿流体”.

图1 剪切黏度的示意图

2.2 泊肃叶公式及其应用

泊肃叶公式[3-4]：牛顿流体在圆管内处于层流状态，L为管长，p为圆管两端压强差，a为圆管半径(如图2所示)，则在管内的流量：

容器是圆柱体处于大气压下(如图2所示)，且水位下降足够慢(准静态过程)，使圆管中水流保持层流状态，可以认为p=ρgy，此时射出的水流应呈抛物线状且平稳，则有：

其中A=πR2是容器的截面积. 求解(3)式可以得到：

对(4)式两边同时乘以容器的截面积A，得：

式中V为容器中的液体有效体积，即图2中y所对应的体积，V0为初始有效体积.

图2 实验装置示意图

2.3 装置

实验装置如图3所示，其主体是2 L的量筒(圆柱形容器)，在其侧壁上，以200 mL处为中心，开出直径约3.8 mm的圆孔，之后接上长度适中的橡胶软管(内径3.72mm)并用502胶水固定. 圆管采用的是多种内径四氟乙烯管(内径分别为1.2 mm，1.6 mm，2.0 mm，2.8 mm)，剪裁合适的长度后，利用502胶水固定在连接件内，之后连接于软管中. 采用这种方案便于更换不同内径的流管以测量不同黏度范围的液体.

图3 实验装置实物图

其余测量工具有：秒表、直尺、温度计等. 实验中的待测液体为水和羧甲基纤维素纳(简称CMC)溶液.

3 实验结果与讨论

选择一定规格的圆管组合连接于软管中(如图4所示结构)，将待测液体注入量筒中，直到超过2 L刻度线200～300 mL. 确认装置各连接处没有漏水后，将软管按住稍向下倾斜，使液体流出圆管并排除气泡. 可以观察到此时流出的水流呈抛物线状，并且较为平稳，射程随时间缓慢减小. 再次确认装置各连接处没有漏水，调整圆管使其保持水平.

图4 俯视结构示意图

当确认圆管中气泡排除后，则可选择合适的液面位置开始计时. 根据液面下降的速度，选择合适的体积间隔(一般选为最小刻度的1～2倍，即20 mL或者40 mL)并计时. 在至少采样10个点之后，利用V=aebt进行拟合并求出η. 随后通过求导以及截面的换算，推出速度v的范围，则进一步可得到Re的范围.

使用内径2a=(1.20±0.01) mm，长度L=(14.90±0.01) cm的四氟乙烯管，水温19.7 ℃时，拟合结果如图5所示.

图5 19.7 ℃下水的拟合结果

算出η=1.032 mPa·s，不确定度分别由重力加速度g、流管半径a、流管长度L、量筒半径R以及拟合参量b的不确定度贡献：

得到u(η)=0.018 mPa·s.

参考值可以查表[5]得到温度为整数时的黏度. 对于温度不是整数的情况，采用加权平均的方式得到参考值. 例如:实际水温为19.7 ℃，水在19 ℃和20 ℃时理论黏度为1.029 9 mPa·s和1.005 0 mPa·s，计算参考值时前者权重为0.3，后者权重为0.7，得到参考值η参考=1.012 5 mPa·s. 测量值相比参考值，相对偏差Δ=1.9%.

进一步处理后，得到圆管中速度v的范围在0.59～0.85 m/s，从而分别得到由η测量计算的Re范围在690～985，由η参考计算的Re范围在700～995.

对19.7 ℃做3次测量，得到的黏度相差不超过6%，具有可重复性. 通过3次的结果得到平均值η=(1.06±0.04) mPa·s，相对偏差Δ=4.7%.

对水所有实际采样过程中，通过拟合的V=aebt处理，得到水面下降速度在10-4m/s量级；圆管中水流速度在10-1m/s量级，Re均在1 000以下，属于层流，排除了流体处于紊流或者湍流状态. 如果处于紊流(湍流)状态，测得的黏度将是与流速、环境因素等相关的表征值而非物质的本征性质.

表1中所测得的黏度η测量相比理论值η参考有一定的偏差，产生偏差的原因可能是：

1)所用的四氟乙烯管并非理想的直线型，有小量的弯曲，使水流在经过弯曲处时动能减损，导致测量结果偏大；

2)水流在从量筒进入圆管的一小段位置，其实是突变界面的流动，这一小段的水流受到的局部阻力较大，导致测量结果偏大；

3)水中含有杂质，影响不可知；

4)量筒、圆管的材料，热膨胀系数在10-6～10-5℃-1量级，在测量的温度范围可以忽略不计.

表1 不同温度下水的黏度测量结果

使用这套简易测量装置，在这5个温度下均分别做过多次测量，误差最大不超过7%，最接近参考值的测量值误差均不超过2%，平均误差不超过5%.

图6 水的黏度与温度的关系

羧甲基纤维素钠(CMC)是一种常用的高分子聚合物增稠剂. 在测量的质量分数范围内，均属于牛顿流体[未出现无管虹吸[7]现象且符合由牛顿流体推出的(5)式]. 在配置溶液时，发现：1)其密度比水大(例如在2 500 mL水中加入约20 g CMC，当充分溶胀后，溶液体积会减少约50 mL)；2)完全溶胀后，分布不均匀，在容器底部溶质稍多于液面处(在移液时可以观察到底部的黏度稍大). 所以计算密度时，引入3%的不确定度，且质量分数一列指的是测量时的CMC溶液质量分数不超过该值(但偏差不大).

CMC溶液的黏度测量结果如表2所示.

表2 CMC溶液的黏度测量结果

测量出的黏度与文献[8]中测出的黏度均在同一量级上，且在相应质量分数点均偏小. 由于制作过程、杂质含量等不同，其CMC相同质量分数的溶液黏度会有变化. 基于这两点以及水的结果误差大小，可判断测得CMC溶液的黏度是可信的.

在测量范围内，排除温度差异相对较大的0.05%及0.2%这2个点后，发现其余的CMC溶液的黏度与质量分数有指数增长的规律(图7). 根据文献[9]，部分多种组分的液体的黏度可以由Lobe法经验公式给出：

其中，η为黏度，ρ为密度，γ为体积分数，α为特性黏度参量，R为气体摩尔常量，T为绝对温度.

图7 CMC溶液的黏度与质量分数的关系

测量到的CMC溶液的黏度，在小范围内的质量分数变化下，满足简单的近似经验公式η=A+BeCφ(其中φ为CMC的质量分数)，相关系数r2～0.997. 其物理机制与CMC分子对水分子的吸附、CMC分子的团簇作用与扩散运动等因素相关，目前没有完善的理论能包含不同种类的溶液.

4 结束语

使用自制的简易装置，测量了不同温度下水的黏度，与理论值相比误差较小. 在测量温度范围内，水的黏度与绝对温度的倒数呈线性关系. 用该装置测量了保持牛顿流体性质范围内的不同质量分数的CMC溶液，其黏度与质量分数呈指数增长. 该装置通过更换不同规格的圆管，在满足被测液体是层流状态且流速较低的条件下，使测量时间范围不过长(一般在5～15 min)，实现了10-3～100Pa·s量级的黏度测量.

参考文献：

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