基于LMD的多尺度形态学在齿轮故障诊断中的应用

侯高雁，吕 勇，肖 涵，郝志强

（武汉科技大学 机械自动化学院，武汉 430081）

从非线性、非平稳信号中提取出旋转机械的故障频率一直是人们研究的热点，齿轮故障振动信号是一种典型的非线性、非平稳信号。为了提取出齿轮的故障频率，人们提出了很多有效的方法，如小波变换，希尔伯特变换，数学形态学等，小波变换在机械故障诊断中已经取得了较好的应用效果，但是对于小波基的选择方面是一个难点，同时也存在傅里叶变换的局限性；Hilbert-Huang变换，由于Hilbert算子不可避免的加窗效应，使得解调结果出现非瞬时相应特性，增大解调误差；数学形态学是由Matheron和Serra［1－2］共同创立的，是基于积分几何和随机集理论建立起来的有别于时域、频域的数学方法。该方法在考察信号时使用结构元素探针，通过结构元素探针在信号中不断移动，从而提取有用信号的冲击特征。

虽然形态滤波算法具有很强的抑制脉冲干扰的能力，但抑制白噪声的能力却不足。针对这一不足，提出了一种基于局域均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）的多尺度形态学解调方法，首先将采集的信号经过LMD分解，然后再用形态学滤波器提取故障频率。LMD［3］方法是Smith新近提出的一种新的时频分析方法，它将复杂的多分量信号分解为若干个乘积函数（Production Function，PF）的线性组合，每一PF分量由一个包络信号和一个调频信号相乘得到，包络信号就是该PF分量的瞬时幅值，而PF分量的瞬时频率可以由调频信号求出［4］。通过LMD方法可以很好的滤除白噪声信号，同时还可以获得原始信号的全部调制信息，再用形态学差值滤波器提取出齿轮故障特征。结果表明该方法能够有效的在含噪信号中提取出故障频率特征。

1 多尺度形态学

数学形态学［2］分析是基于积分几何和随机集的不同于时域、频域分析的非线性方法。该方法首先应用于图像处理中，随后在信号处理方面得到了广泛的应用，如文献［5－8］。

1.1 数学形态学基本运算

腐蚀和膨胀两种算子是数学形态学的基本运算。设采样得到的一维多值信号（待处理信号）f（n）和一维结构元素序列 g（n）的定义域分别为 Df＝｛0，1，2，…，N－1｝和 Dg＝｛0，1，2，…，M－1｝，其中 N和 M都是整数，且N＞M。

式中 m∈0，1，2，M－1。

数学形态学的开运算用于滤除信号上方的峰值噪声，去除信号边缘的毛刺；闭运算用于平滑或抑制信号下方的波谷噪声，填补信号的漏洞和裂纹。

1.2 形态学滤波器和形态学结构元素

利用开运算和闭运算的组合可以构造形态学分析算法，本文将介绍两种滤波器，AVG和DIF滤波器。

平均（AVG）滤波器：

差值（DIF）滤波器：

平均滤波器可以同时消除信号中的正、负冲击，对信号起到平滑作用，而差值滤波器，可以提取信号中的正、负冲击。

确定了形态学运算，结构元素的选取就起到了至关重要的作用，结构元素是形态学的基本算子，它的选择在于其形状和尺寸（大小）的确定。结构元素的形状一般选择对称的结构，因为非对称时运算会产生偏移，结构元素可以选择为圆盘形、正方形、菱形、六边形、线段形等，不同形状的结构元素运算结果会有差异，应针对待处理信号的几何形状进行选择。当确定了结构元素的形状后，其尺寸大小就至关重要，结构元素尺寸太大，闭运算时目标之间互相干扰，造成过度粘连，开运算时造成假断裂；过小时，闭运算不能实现裂口较大的断裂边缘连接，开运算不能实现较大凸起与粘连的去除。因此，为了有效地提取信号中不同尺度的形态特征，需要自适应地选择结构元素及具有多尺度形态学分析的功能。

2 LMD方法

局域均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）方法是JSmith［3］提出的一种新的信号分析方法LMD，该方法的实质就是将非平稳调制信号分解为若干个由包络信号和纯调频信号乘积而得的PF分量，它能根据信号本身的特征进行自适应地分解，使得分解后的每个分量都具有一定的物理意义，能够反映信号的内在本质，在机械故障诊断领域中得到了很好的应用［9－12］。对于任意原始信号 x（t），其具体分解算法如下［4］：

（1）找出x（t）所有的局部极值点ni，通过各极值点，分别计算出相邻两极值点ni和ni＋1的平均值mi和包络估计值ai

（2）分别将所有相邻两个极值点的平均值mi和包络估计值ai用直线连接，然后采用移动平均方法进行平滑处理，分别得到局部均值函数m11（t）和包络估计函数 a11（t）。

（3）将局部均值函数 m11（t）从原始信号 x（t）中分离出来，得：

再用 h11（t）除以包络估计函数 a11（t）以对 h11（t）进行解调，得：

对s11（t）重复上述步骤便能得到 s11（t）的包络估计函数a12（t）。理想情况下，s11（t）是一个纯调频信号，它的包络估计函数满足 a12（t）＝1。如果 a12（t）不等于1，则将s11（t）作为原始数据重复以上迭代过程，直至s1n（t）为一个纯调频信号，即满足 －1≤s1n（t）≤1，它的包络估计函数满足 a1（n＋1）（t）＝1。因此有以下公式：

式中：

迭代终止条件为：

（4）把迭代过程中产生的所有局域包络估计函数相乘便可以得到PF分量的包络信号（瞬时幅值函数）。

（5）将包络信号 a1（t）和纯调频信号 s1n（t）相乘便可以得到原始信号的第一个PF分量：

第一个PF分量包含了原始信号中最高的频率成分，是一个单分量的调幅—调频信号，而包络信号a1（t）就是其瞬时幅值，其瞬时频率 f1（t）可由纯调频信号 s1n（t）求出，即：

（6）PF的第一个分量PF1（t）从原始信号中分离出来，得到一个新的信号 u1（t），把 u1（t）作为原始数据重复上述步骤，循环 k次，直到uk为一个单调函数为止。

经过上述步骤，初始信号x（t）被分解为k个PF分量和uk（其中uk为残余项）之和，即：

3 基于LMD的多尺度形态学

局部均值分解（LMD）是在EMD的基础上提出的一种针对非线性非平稳信号的自适应时频分析方法，它能根据信号自身的时间尺度特征自适应地将其分解，可将多分量的AM-FM信号分解为单分量的AM-FM信号，即由若干个PF分量组成，每一个PF分量都含有瞬时幅值和频率，选取能量高的PF分量求和重构，采用多尺度形态学差值滤波器进行解调，提取出了故障频率特征。此方法与EMD相比，LMD端点效应得到了一定的抑制，解决了欠包络和过包络的问题［13］。

数学形态学有很强的抑制脉冲干扰的能力，但滤除白噪声的能力却不足，LMD分解不仅可以滤除白噪声，还可以有效地提取出故障特征频率，将LMD与多尺度形态学相结合，用于提取故障信号的频率特征，计算时间短，降噪效果好，能够快速、准确地从故障信号中提取出故障频率特征。

4 仿真实验

为了验证基于LMD的多尺度形态学解调方法提取信号冲击成分，构造如下仿真信号进行分析：

其中，x1（t）＝cos（2*pi*30*t）＋1．5*cos（2*pi*50*t），频率为 30和 50的谐波信号；x2（t）为标准差为1的高斯白噪声；x3（t）为周期性的指数衰减冲击信号（频率为20 Hz，每周期内冲击函数为exp（－20t）sin（20*pi*t）），对信号 y（t）进行采样的频率为 1 000 Hz，采样点为10 000，得到的混合信号如下图所示，图1为混合信号的时域图，图2为混合信号的频域图。

图1 混合信号的时域图Fig．1 The time domain of Mixed signal

图2 混合信号的频域图Fig．2 The frequency domain of Mixed signal

从图1可以看出，冲击信号淹没在谐波信号和白噪声信号中，图2只能明显的看出频率为30 Hz和50 Hz的谐波信号，此实验的目的是为了抑制谐波信号（30和50 Hz的余弦信号）和白噪声，从而提取信号中的冲击成分（即20 Hz的冲击成分）。

先采用LMD对混合信号进行分解，LMD分解为6个PF分量，选取能量大的前三阶PF分量，求和重构，便得到降噪后的信号，如图3和图4所示，图3是经LMD降噪后的时域图，图4是相对应的频域图，将图4与图2对比，可以明显的看到，经LMD处理后，达到了明显的降噪效果。

图3 混合信号经LMD降噪后的时域图Fig．3 The time domain of Mixed signal after noise reduction by LMD

图4 混合信号经LMD降噪后的频域图Fig．4 The frequency domain of Mixed signal after noise reduction by LMD

最后采用形态差值滤波器提取出冲击频率，如图5所示，可以明显的提取出20 Hz的冲击信号及其2倍频信号、3倍频信号、4倍频信号，证明了该方法的有效性。

图5 形态学提取后的结果Fig．5 The extraction result by the morphology

5 基于LMD的多尺度形态学在齿轮故障诊断中的应用

为了验证所提出方法在齿轮箱故障特征提取中的有效性，在齿轮箱故障诊断试验平台上实验。采用的齿轮箱变速为1级降速，该测试系统由调速电机、联轴器、某型单级传动齿轮箱、磁粉负载、传感器和LMS分析仪组成。分别模拟齿轮断齿和磨损两种故障实验，输入轴和输出轴的齿轮齿数分别为20和37，传动比为1．85，齿轮模数为 3，高速轴的转速为 363 r／min，采样频率为2 000 Hz，采样点为10 000。

图5（a）和图5（b）分别为齿轮断齿的时域图和频域图，从图中可以看出混有大量的噪声，先对这些信号进行LMD分解，选取能量大的分量求和重构，然后用数学形态学差值滤波器来提取故障成分。

图6（a） 齿轮断齿时域图Fig．6（a）The time domain of broken teeth of the gear

图6（b） 齿轮磨损时域图Fig．6（b）The frequency domain of broken teeth of the gear

图7 断齿信号经LMD分解后的前3项PF信息Fig．7 The former there PF information of the broken teeth signal after LMD decomposition

图7为断齿信号经LMD分解后形成的前3项能量较大的PF信息，将前3项PF信息求和重构，然后用形态学差值滤波器对重构的信息进行处理，提取出断齿信号的故障频率特征，如图8所示，明显的提取到了故障信号频率为10 Hz的信息，以及2倍频20 Hz，3倍频30 Hz和1／2倍频5 Hz等倍频信息。

图8 形态学提取后的结果Fig．8 The extraction result by the morphology

图9（a）和图9（b）分别为齿轮磨损信号的时域图和频域图。齿轮磨损信号经LMD分解后，再用形态学差值滤波器处理后的结果，如图10所示，提取到了故障信号的1倍频（5 Hz）、2倍频（10 Hz）和3倍频（15 Hz）信号，证明了所提出的方法的有效性，能够提取出信号的故障频率特征。

图9（a） 齿轮断齿时域图Fig．9（a）The time domain of wear and tear of the gear

图9（b） 齿轮断齿时域图Fig．9（b）The frequency domain of wear and tear of the gear

图10 形态学提取后的结果Fig．10 The extraction result by the morphology

6 结 论

LMD方法是一种自适应的时频分析方法，该方法将多分量的振动信号自适应地分解得到一系列的PF分量，而每一个 PF分量实际上是一个单分量的调幅——调频信号，它由一个包络信号与一个纯调频信号相乘得到，从中选取能量大的PF分量进行求和重构，然后利用形态学差值滤波器提取故障信息。通过仿真试验和模拟齿轮的断齿和磨损实验，证明了该方法的有效性。实验表明，基于LMD多尺度形态学，可以有效提取齿轮的故障特征，实现齿轮的故障诊断。

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