玩具中的物理：镶嵌雪花片的滚动轨迹＊

邱为钢 陶 涛 俞嘉玲 王妍妍 林超君

（湖州师范学院理学院，浙江 湖州 313000）

有趣的玩具蕴含不少高深的物理，现象看起来非常简单直观，但分析起来需要普通物理甚至理论物理的知识.本文研究两个镶嵌雪花片在地面上的滚动轨迹.把雪花片（如图1所示）的侧边涂上颜料，在水平地面上滚动起来，颜料就在地面上留下两条对称的轨迹.仔细观察，这两条轨迹具有周期性，即某一特征曲线段周期重复.那么这个周期性轨迹是否具有解析表达式，周期长度与哪些几何（物理）量有关？

图1

由立体几何知识可知

由图2可知OH＝OKsinβ，2OK＝O1K＋O2K.由（1）、（2）两式计算得到质心纵坐标为

图2

镶嵌雪花片的滚动可以分解为质心的平动和饶质心的三维转动.三维转动又可以分解为饶3个方向转动的叠加.取一个在质心的正交坐标系O x y z，第1次绕z轴转动，转动后的坐标轴变为O x′y′z′.第2次的转动方向只能选x′轴方向或y′方向，转动后的坐标轴变为O x″y″z″，第3次转动方向不能与第2次重合，所以总的转轴方向组合只有以下4种：z x′y″，z x′z″，z y′x″，z y′z″.最常用的欧拉转动对应最后一种，而本文中的转动对应第3种，这也是处理这个滚动模型的最重要的突破口.起始时刻圆心连线O1O2与地面平行，选为x轴方向，垂直地面向上为z轴方向，与x轴和z轴都垂直的是y轴方向；绕质心O的转动分解为3个转动的叠加，第1个转动是绕z轴转动φ角度，第2个转动是绕y′轴转动-β角度，第3个转动是绕x″轴转动-ψ角度.借用欧拉角的名义，称φ角为进动角，β角为章动角，ψ角为自转角.设R（n，φ）表示绕n（单位矢量）方向转动φ角度的转动矩阵，具体形式为

其中（n1，n2，n3）是单位矢量n的3个分量.设依次转动后3组正交单位矢量分别为（i，j，k），（i′，j′，k′），（i″，j″，k″），那么滚动后体系上任意一点的坐标为其中（x0，y0，z0）是质心坐标系中任意一点的坐标.

体系滚动后A1、A2与地面接触，即相对地面坐标的第3分量始终为0，计算得到自转角ψ满足的条件为

体系做纯滚动的必要条件是A1、A2相对地面的速度为0，计算得到进动角φ所满足的微分方程和质心坐标xc、yc所满足的微分方程为

令s＝sinθ1，c＝cosθ1，计算得到进动角φ的表达式为

知道了进动角φ、章动角β、自转角ψ以及质心坐标（xc，yc，zc）的解析表达式，就能把两条对称轨迹的解析表达式求出来.不过，为了表示简洁、方便与实验对比，我们取周期轨迹顶点处为坐标原点，以顶点处的切线及其垂线为坐标轴，经过坐标平移和旋转，在新的坐标轴下两条轨迹的部分轨迹解析表达式为

因为雪花片有正反两面，所以完整的一个周期轨迹的周期长度（两点距离）是L＝其中R是雪花片（看作圆盘）的半径.

图3

这样，综合利用中学的立体几何，大学的转动矩阵，质心平动加绕质心的转动，有理分式的不定积分等数学物理知识，得到了镶嵌雪花片在水平地面做纯滚动时，与地面接触点形成的两条周期性轨迹的解析表达式，得到了周期长度的解析表达式.这个模型，可以作为玩具中的物理一个经典例子.