关于求参数取值范围的两道高考题的探析

贾玉凤

高中数学中求参数取值范围的题目屡见不鲜，其解决方法也是多种多样，例如常用的分离参数法、数形结合法、特值验证法等.下面就本人对2014年全国（Ⅱ卷）高考数学（理科）试卷中出现的有关求参数取值范围的两道题的见解阐述如下.

一、2014年新课标卷Ⅱ高考（理科）第12题解析

题目：设函数f（x）=3sinπxm，若存在f（x）的极值点x0满足x20+fx02

A.-∞，-6∪6，+∞

B.-∞，-4∪4，+∞

C.-∞，-2∪2，+∞

D.-∞，-1∪1，+∞

分析1 作为选择题，看完题干后，要观察选项，找出选项间的差异，用特值等方法去排除错误答案，从而得到正确答案.

解法1 由题可知，f′（x）=3πmcosπxm，

而f′x0=0，所以3πmcosπx0m=0，

即πx0m=kπ+π2，k∈Z，

所以x0=mk+12，k∈Z.

而fx0=±3，

所以fx02=3.

所以原題转化为存在x0，使得x20+3

而存在x0，使得x20+3

当m=0时不成立;

当m≠0时，存在整数k，使得k+122

分析2 此题乍一看，形式较复杂，仔细再看，条件“x0是f（x）的极值点”很重要，可以作为一个突破点，从而可得到x0的值，再继续挖掘，会发现fx02竟然是常数3，极大程度上简化了此题.显然，利用熟悉的分离参数法即可解决.

解法2 由题可知，f′（x）=3πmcosπxm，

而f′x0=0，所以3πmcosπx0m=0，

即πx0m=kπ+π2，k∈Z，

所以x0=mk+12，k∈Z.而fx0=±3，

所以fx02=3.

所以原题转化为存在x0，使得x20+3

当m=0时不成立;

当m≠0时，存在整数k，使得k+122

令g（k）=k+122，k∈Z，h（m）=m2-3m2，

则只需h（m）大于g（k）的最小值即可.

而当整数k=0或k=-1时g（k）的最小值为14，

所以h（m）>14，即m2-3m2>14，

从而解得m2>4.所以选C.

分析3 在解题时，我们经常会通过转化的思想将陌生的问题转化为熟悉的问题，所以根据我们经常把“存在性问题”转化为“恒成立问题”的思想，也可以有以下解法.

解法3 法2中，当m≠0时，存在整数k，

使得k+122

即m2-3m2≤k+122对一切整数k恒成立，

所以m2-3m2≤14即可，即m2≤4且m≠0.

所以m2>4时，存在整数k，

使得k+122

即m<-2或m>2.选C.

二、2014年新课标卷Ⅱ高考（理科）第16题解析

题目：设点M（x0，1）.若在圆O：x2+y2=1上存在点N，

使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是.

分析1 涉及圆的问题我们常会想到数形结合，所以

由图可得以下解法.

解法1 考虑到点M（x0，1）始终在圆O：x2+y2=1的一条切线y=1上，设切点为P0，1，所以想到过M（x0，1）

作圆O：x2+y2=1的另外一条切线MQ，切点为Q，

得到四边形OPMQ.显然要想在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，只需∠PMQ≥90°，所以M（x0，1）只能在y=1-1≤x0≤1上运动，所以x0∈[-1，1].

分析2 作为填空题，因为不展示过程，所以我们可以通过特殊值或图像的特殊状态求解.

解法2 直接利用特殊状态.

即当x0=±1时，过M（x0，1）作圆O：x2+y2=1的另外一条切线MQ，切点为Q，则Q即为N.

当x0<-1或x0>1时，过M（x0，1）作圆O：x2+y2=1的另外一条切线MQ，切点为Q，都会使得∠OMQ<45°，

由图可知，此时在圆O：x2+y2=1上不存在点N，使得∠OMN=45°;当-145°，由图可知，此时在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°.所以x0∈[-1，1].

通过以上两题的解法，我们发现，在解决求参数取值范围的题目时，我们既要学会一般的、常规的方法，即分离参数法、数形结合法等，还要根据具体的问题以及它们出现的形式而灵活地采取恰当的方法，如上述的转化法或特殊状态法等.