让我带你去飞翔，为数列问题插上函数思想的翅膀

池进平

【摘要】希尔伯特说：数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系.从这个意义上看，数列丰富了我们所接触的函数概念的范围，它是离散函数的典型代表.所以我们可以借助函数的概念、性质、图像从运动变化的观点去分析和研究数列问题，本文由浅入深地通过几个典型例题，帮助我们认识到一旦为数列问题插上函数思想的翅膀，就会飞得更高更远.

【关键词】数列;函数思想;运动变化

首先结合几个例题谈谈如何在函数观点下解决简单的数列问题：

一、数列的最值问题

已知数列{an}满足an=n2-8n+5n（n∈N+），则an的最小值为.

评析 an=n2-8n+5n=n+5n-8，借助函数f（x）=x+5x-8的图像，在（0，5）单调递减，在（5，+∞）单调递增，又n∈N+，∴（an）min={a2，a3}=-72，-103=-72.

数列是自变量为正整数的一类函数.特别要注意n∈N+，所以数列的图像只是对应函数图像上孤立的点.

此外，了解等差数列与一次函数、二次函数，等比数列与指数函数的关系能够帮助我们更快速地解决最值问题.

如：等差数列{an}满足：a1<0，S5=S13，则{an}的前项和最（填“大”或“小”）.

解法一 基本量的运算，设首项为a1，公差为d，由S5=S13，得： 5a1+5×42d=13a1+13×122d，∴a1=-172d，又a1<0，d>0，

即{an}是首项为负数的递增数列.

因此，当an≤0且an+1>0时，Sn有最小值.

∴-172d+（n-1）d≤0，

-172d+nd>0，解得：172

所以，此数列的前9项之和最小.

解法二 利用等差数列的性质：

∵S5=S13，∴a6+a7+…+a12+a13=0.

∴a6+a13=a9+a10=0，{an}是等差数列，而an是关于n的一次函数，

又a1<0，∴a9<0，a10>0.

∴此数列的前9项之和最小.

解法三 已知S5=S13，而Sn是关于n的二次函数，

由抛物线的对称性可得其对称轴方程为n=5+132=9.

又抛物线过（0，0），（1，a1），所以开口向上.

所以，当n=9时，Sn最小.

评析 解法一执着于基本量的运算，运算量较大;

解法二利用等差数列{an}的通项an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）与一次函数的关系，再结合函数的零点，快速解决问题;

解法三利用等差数列{an}的前n项和Sn=na1+n（n-1）d2=d2n2+（a1-d2）n与二次函数的关系，结合函数图像轻松解题.

二、数列的单调性问题

已知数列{an}的通项公式an=n2+λn，若数列{an}是递增数列，

则实数λ的取值范围是.

解法一 对称轴n=-λ2<32，即λ>-3.

解法二 ∵{an}为递增数列，∴an+1-an=（n+1）2+λ（n+1）-（n2+λn）

=2n+1+λ>0对任意正整数n恒成立，即λ>-2n-1对任意正整数n恒成立，

也就是只要λ大于-2n-1的最大值即可.

又当n=1时，-2n-1max=-3，∴λ>-3.

评析 若函数f（x）=x2+λx+5在[1，+∞）上单调递增，则实数λ的取值范围是，利用二次函数的知识，会得到了错误答案：x对=-λ2≤1，即λ≥-2.

分析原因 对应函数为单调增函数是数列{an}为递增数列的充分不必要条件，

所以数列{an}的单调性问题可以利用函数图像解决，但要注意分析拐点的情况.

如：设a>0，若an=（3-a）n-3，n≤7，

an-6，n>7，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围为.

解 3-a>0，

a>1，

（3-a）×7-3≤a8-6，解得a∈（2，3）.

也可以利用数列的单调性定义转成恒成立问题解决.同时注意数列单调性的数列特征：

利用 an+1-an的符号来判定.

如：已知不等式1n+1+1n+2+…+12n>112log2（a-1）+712对一切大于1的自然数n都成立，则实数a的取值范围是.

解 令

f（n）=1n+1n+2+…+12n（n∈N且n≥2），

f（n+1）-f（n）=…=12n+1+12n+2-1n+1=12（n+1）（2n+1）>0，

∴f（n+1）>f（n），∴f（n）为增函数，且f（n）min=f（2）=712.

由题意得712>112log2（a-1）+712，

∴log2（a-1）<0，解得1

评析 数列单调性判断的步骤：作差、定号、下结论.

注意数列单调性与函数单调性的区别，还有数列的个性特征，作差用an+1-an.

三、数列的周期性问题

数列{an}的通项公式an=cosnπ2+1，前n项和为Sn，则S2014=.

评析 利用三角函数的周期性得：T=4，1，0，1，2，…，∴S2014=4×503+1=2013.

例 （2007年广东高考）已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α>β），f′（x）是f（x）的导数.设a1=1，an+1=an-f（an）f′（an）（n=1，2，…）

（1）求α，β的值;（2）证明：对任意的正整数n，都有an>α.

评析 （1）α=-1+52，β=-1-52.

（2）an+1=an-a2n+an-12an+1=a2n+12an+1，把an+1 看作关于an的函数.

令g（x）=x2+12x+1，（x>α），g′（x）=2（x2+x-1）（2x+1）2=2（x-α）（x-β）（2x+1）2>0，

∴g（x）在（α，+∞）上单调递增，∴g（x）>g（α）=α.

即：若an>α，则an+1>α.

再结合数学归纳法 ：①当n=1时，a1=1>α;

②假设n=k时不等式成立，即ak>α，

則ak+1=a2k+12ak+1>α，∴n=k+1时不等式也成立.

由①②知an>α对所有n∈N*成立.

以运动的观点看待函数，是解决此类数列问题的关键，在例1中我们发现数列cn的通项cn可以看成关于n的函数，也可以看成关于bn的函数;在例2中我们发现递推关系中可以把an+1 看作关于an的函数.但是有一些问题，往往还需要我们通过分析自己构造一个相关函数.

从函数的观点去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题.