关于可逆矩阵在初等变换下的逆矩阵的若干命题

李光

【摘要】本文证明了关于可逆矩阵A经过一次初等变换得到的矩阵B的逆矩阵B-1与矩阵A的逆矩阵A-1之间关系的几个命题成立.

【关键词】矩阵;逆矩阵;代数余子式

一、引 言

设A是N×N阶的可逆方阵，A-1是它的逆阵;矩阵B是由A经过一次初等主变换得到的，B-1是B的逆阵.则有以下结论成立：

命题1：若A行与行互换B，则A-1列与列互换B-1.

若A列与列互换B，则A-1行与行互换B-1.

命题2：若AK×行K≠0B，则A-11K×列B-1.

若AK×列K≠0 B，

则A-11K×列B-1.

命题3：若AK×行+行B，则

A-1-K×列+列B-1.

若：A-K×列+列B，则A-1K×行+行B-1.

上述命题可以概括理解为，如果可逆方阵A经过一次初等变换为矩阵B，那么A-1经过某种相应的一次初等变换就变成B-1.

二、命题的证明

这里仅就三条命题中各命题的第一款详加证明.第二款的证法与第一款类似.

设

A=a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

……

an1 an2 … ann

是可逆的，则有

A-1 =1|A|A11 A21 … An1

A12 A22 … An2

……

A1n A2n … Ann

对A作以下变换：

A行与行互换B1=a11 a12 … a1n

……

aj1 aj2 … ajn

……

ai1 ai2 … ain

……

an1 an2 … ann

←j

←i

AK×行K≠0B2=

a11 a12 … a1i… a1n

……

kai1 kai2 … kaii … kain

……

an1 an2 … ani … ann

AK×行+

行B3=

a11 a12 … a1i … a1n

……

ai1 ai2 … aii … ain

……

kai1+ aj1 kai2+ aj2 … kaii+ aij … kain+ajn

……

an1 an2 … ani … ann

可以肯定B-11，B-12，B-13是由A-1经过下列变换得到的.

A-1列与列互换B-11=1|A|A11 … Aj1 … 1kAi1 … An1

A21 … Aj2 … k1Ai2 … An2

……

A1n … Ajn … k1Ain … Ann

↑ ↑

j列 i列

A-11K列B-12=1|A|

Ai1 … Ai1 … An1

……

Ai1 … Aii … Ani

……

A1n … Ain … Ann

A-1-K×

列+列B-13=1|A|

A11 … Ai1-kAj1 … Aj1 … An1

……

A1i … Aii-kAji … Aji … Ani

……………………………

A1n … Ain-kAjn … Ajn … Ann

事實上

B1B-11=a11 a12 … a1n

……

aj1 aj2 … ajn

……

ai1 ai2 … ain

……

an1 an2 … ann

1|A|A11 … Aj1 … Ai1 … An1

……

A12 … Aj2 … Ai2 … An2

……

……

……

A1n … Ajn … Ain … Ann

=1|A|

∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c ∑nc=1a1cA1c

……

∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c ∑nc=1a1cA1c

……

∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c ∑nc=1a1cA1c

……

∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c ∑nc=1a1cA1c

=1|A|

|A|… 0 … 0 … 0

……

0 … |A| … 0 … 0

……

0 … 0 … |A| … 0

……

0 … 0 … 0 … |A|

=Enxn.

同理可证B-11B1=Enxn

命题1第一款证毕.

B2B-12=

a11 a12 … a1i … a1n

……

kai1 kai2 … kaii … kain

……

… … … … … …

an1 an2 … ani … ann

1|A|Ai1 … 1kAi1 … an1

……

A12 … 1kAi2 … an2

……

A1i … 1kAii … ani

……

A1n … 1kAin … ann

=1|A|∑n

e=1a1eA1e… 1k∑n

e=1a1eA1e … ∑n

e=1a1eAne

……

k∑n

e=1aieA1e … 1k∑n

e=1aieAie… k∑n

e=1aieAne

……

∑n

e=1aneA1e … 1k∑n

e=1aneAie … ∑n

e=1aneAne

=1|A|

|A| … 0 … 0

……

0 … |A| … 0

……

0 … 0 … |A|

=Enxn

同理可证B-12B2=Enxn.

命题2第一款证毕.

B3B-13=1|A|=

A11 … Ai1-kAj1 … Aj1 … An1

……

A1i … Aij-kAji … Aji … Ani

……

……

A1n … Ain-kAjn … Ajn … Ann

a11 … a1i … a1n

……

ai1 … aii … ain

……

kai1+aj1 … kaii+aji … kain+ajn

……

an1 … ani … ann

=1|A|∑n

e=1

a1eA1e … ∑n

e=1a1e（Aie-kAje） … ∑n

e=1a1eAje … ∑n

e=1a1eAne

……

∑n

e=1aieAie … ∑n

e=1aie（Aie-kAje） … ∑n

e=1aieAje … ∑n

e=1aieAne

……

∑n

e=1（kaie+aje）A1e … ∑n

e=1（kaie+aje）（Aie-kAje）… ∑n

e=1（kaie+aje）Aje … ∑n

e=1（kaie+aje）aneAne

……

∑n

e=1aneA1e … ∑n

e=1ane（Aie-kAje） … ∑n

e=1aneAje … ∑n

e=1aneAne

=1|A|

|A|… 0 … 0 … 0

……

0 … |A| … 0 … 0

……

0 … 0 … |A| … 0

……

0 … 0 … 0 … |A|=Enxn.

同理可證B-13B3=Enxn.

命题3第一款证毕.