电场中的圆周运动

金爱兵

带电体在电场中的圆周运动是近几年高考和高校自主招生考试的的热点问题.为应对新的自主招生考试模式，笔者根据几例自主招生考题和它的母题谈带电体在电场中圆周运动这一重要的模型.并将这一模型用于开放式探究性复习课的课堂，这将有助于培养学生的联想能力、知识与方法的迁移能力、空间想象能力、总结归纳能力，更为突出的是培养学生在物理学习中作图这一技术素养.

1.带电体在点电荷电场中的匀速圆周运动

母题1 已知电子的电荷量为e，质量为m，氢原子的核外电子在原子核的静电力吸引下做半径为r的匀速圆周运动，则电子运动形成的等效电流大小为多少？

解析 由库仑力提供向心力有： ke2r2=m4π2T2r

得 T=2πremrk

根据电流的定义即可算出等效电流的大小，截取电子运动轨道的任一截面，在电子运动一周的时间T内，通过这个截面的电荷量q=e，则有I=qt=eT=e22πr2mkmr.

考题1 （2011年华约自主招生）如图1所示，带电质点P1固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面上距离P1一定距离有另一个带电质点P2，P2在桌面上运动，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，则（ ）.

A.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做速度变大的曲线运动

B.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变大的曲线运动

C.若P1、P2带异种电荷，以后P2的速度大小和加速度大小可能都不变

D.若P1、P2带异种电荷，以后P2可能做加速度、速度都变小的曲线运动

解析 答案：ACD.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变小的曲线运动.若库仑力小于所需的向心力，P2围绕P1做离心运动，以后P2做加速度、速度都变小的曲线运动.若P1、P2带异种电荷，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，库仑力的方向与带电质点P2的速度方向垂直，若正好满足库仑力等于向心力，P2围绕P1做匀速圆周运动，以后P2的速度大小和加速度大小都不变.

考题2 一带电量为Q的固定正点电荷在真空中形成的电场如图2所示，现有一质量为m，带电量为q的微粒在此点电荷附近做周期为T的匀速圆周运动，微粒的重力不能忽略，求：

1.微粒的带电性质.

2.微粒的轨迹所在平面及圆心O的位置

解析 1.微粒的静电力和重力的合力提供向心力，异种电荷相互吸引，故微粒带负电;

2.考虑重力的带电体做圆周运动的轨迹在水平面内，且圆心O在点电荷的正下方，设其离O点的距离为H;对于微粒受力分析如图3所示.

由牛顿第二定律得mgtanα=m

4π2T2r ①

由几何知识得r=Htanα ②

由①②得H=gT24π2

带电体的轨迹所在平面为水平面，圆心O在Q下方 的位置.

本题的实质上是圆锥摆模型.若使小球带上- q 的负电荷，同时在悬点处置一电量为+Q 的正点电荷，合理选取参数，即可实现负电荷在某一平面上做匀速圆周运动.还可以让学生讨论该带电体的轨迹平面是否可以在固定点电荷的正上方;如果将固定点电荷换成负电荷，那么带电体的电性及轨道又如何？

2.带电体在辐向电场中的匀速圆周运动

母题2 如图4所示，空间A 、B 两点固定着一对等量正点电荷，今有一重力可忽略的带电微粒在它们产生的电场中运动，带电微粒在电场中所做的运动可能是（ ）.

A. 匀变速直线运动 B. 类平抛运动

C. 机械振动 D. 匀速圆周运动

解析 CD.从匀速圆周运动的条件出发思考，重力可忽略的带电体要做匀速圆周运动，等量异种电荷的电场对带负电的带电体施加一大小不变且方向指向圆心的电场力，电场力提供圆周运动的向心力.轨迹是在AB连线的中垂面内以O为圆心的圆，但要使带负电的带电体在AB连线的中垂面内具有一定的速度.

设两同种点电荷带电量为Q，之间距离为2a，另一在AB连线中垂面内做圆周运动的点电荷电量为-q，距O点的距离为x，速率为v.圆轨道处的电场强度大小为

E=2kQa2+x2·xa2+x2=2kQx（a2+x2）32

电场力提供向心力Eq=mv2x

得出v=（2kQq）12·x（a2+x2）34·m12，方向与电场方向垂直.

3.带电体在匀强电场中的约束轨道做非匀速圆周运动

母题3 水平向右的匀强电场中，用长为R的轻质细线在O点悬挂一质量为m的带电小球，静止在A处，AO的连线与竖直方向夹角为37°，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度v0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度v0至少应为多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

解析 静止时对球受力分析如右图，且F=mgtan37°=34mg

等效场力F′=（mg）2+F2=54mg，方向与细线拉力方向相反，

等效加速度g′=54g，与重力场相类比可知，小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在AO连线B处，且最小的速度vB′=g′R，从B到A运用动能定理，可得F′·2R=12mv20-12mv2B，得v0=52gR.

考题3 （2013年北约试题）如图所示，在水平O-xy 坐标平面的第Ⅰ象限上，有一个内外半径几乎同为R、圆心位于x=R、y=0处的半圆形固定细管道，坐标平面上有电场强度沿着y轴方向的匀强电场.带电质点P在管道内，从x=0、y=0位置出发，在管道内无摩擦地运动，其初始动能为Eko.P运动到x=R、y=R位置时，其动能减少了二分之一.

1.试问P所带电荷是正的，还是负的？为什么？

2.P所到位置可用该位置的x坐标来标定，试在2R

≥x≥0范围内导出 P 的动能Ek随x变化的函数.

3.P在运动过程中受管道的弹力FN也许是径向朝里的（即指向圆心的），也许是径向朝外的 （即背离圆心的）.通过定量讨论，判定在 2R≥x≥0 范围内是否存在FN径向朝里的x

取值区域，若存在，请给出该区域;继而判定在2R≥x≥0范围内是否存在FN径向朝外x取值区域，若存在，请给出该区域.

解析 1.带电质点 P在管道内无摩擦地运动，动能减少，电势能增加，电场力做负功，故该带电质点带负电（-q）.

2.设P运动到某一位置坐标为（x，y），由（x-R）2+y2=R2 ①根据能量守恒，EqR=12EK0.②-Eqy=EK-EK0. ③联立①②③得EK=[1-12xR（2-xR）]EKo ④.

3. 根据题意判断该带点质点的运动具有对称性，只需讨论0≤x≤R范围即可.

设P运动到某一位置坐标为（x，y），质点和（R，0）点连线与竖直方向夹角为θ，假设弹力FN的方向径向朝里.FN+Eqcosθ=mv2R ⑤ 当x=0，cosθ=0 ⑥ v是最大值，此位置的弹力FN为最大值，有FNmax=mv2R=2EK0R>0，而后x增大，mv2R减小，Eqcosθ增大，FN减小，当x=R时，mv2R达最小值，Eqcosθ达最大值为Eq，此位置的弹力FN为最小值，FNmin=EK0R-EK02R=EK02R>0，即得0≤x≤R区域内有FN>0，故FN的方向径向朝里.根据对称性，0≤x≤2R 范围内FN径向朝里，不存在FN径向朝外的取值范围.

这个模型可以转化成轨道在竖直平面内，不受电场力，在重力和弹力的作用做变速圆周运动，那么这个模型就是考生比较熟悉的“双轨约束”模型.如果将本题改编为将圆轨道放在竖直平面内且考虑带电体的重力，也可以运用相同的方法解决.

电场中的圆周运动类型较多，无论有无外界约束轨道、无论是否匀速率，解题的关键就是对向心力来源的分析以及对轨迹平面、圆心、半径的确定，根据牛顿定律和能量知识列方程，再利用数学知识进行讨论解答.本文着重例析几种不同电场情境中的圆周运动，在课堂中采用开放探究教学，以提高学生的综合能力.