灰色Verhulst模型的初始值优化

王　健

(安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳 455000)



灰色Verhulst模型的初始值优化

王健

(安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳 455000)

[摘要]讨论了一类灰色Verhulst模型的初始值优化问题.首先对模型的初始值增加扰动因素,然后通过最小化原始序列的一次累加序列与模拟序列之差,建立非约束优化模型,获得了扰动因素的一个计算公式,并提出一种改进的灰色预测模型.最后,通过实例验证了该改进模型可以有效提高预测精度.

[关键词]灰色Verhulst模型; 扰动; 初值修正

1引言

灰色Verhulst模型[1,2]主要用来描述数据具有饱和状态的过程，目前，该模型已经在国民经济、社会发展等各个领域取得显著应用[3,4]. 然而，有时模型的预测精度并不高，为此，很多学者进行了大量研究，通过优化参数估计、建立对应的离散模型、修改初始值以及改进灰导数等途径，从不同方面对模型进行改进，并取得了良好效果[5-13]. 最近文献[11]中提出了一种通过改进灰导数来提高模型预测精度的方法，即以白化微分方程为基础，利用梯形公式来白化灰导数，使差分方程的参数与微分方程对应的参数有很好的一致性。

本文拟在上述研究基础上，继续讨论Verhulst模型的初始值优化问题. 首先，利用文献[11]中参数a,b的最优估计式，得到一种改进的灰色Verhulst模型. 同时，考虑对模型的初始值x(1)(n)增加扰动因素η，把x(1)(n)+η作为模型的新初始值，然后以原始序列的一次累加序列与一次累加序列的模拟值的残差平方和最小为条件，建立一个无约束条件的优化模型，从而求出了扰动因素η，最后，通过一个计算实例，表明改进模型可以有效提高精度，具有较高的理论和应用价值.

2传统灰色Verhulst模型

定义1[1,2]设X(0)为非负原始序列，

X(1)为X(0)的1-AGO序列，

Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列，

其中，

定理1[1,2]设X(0)为非负原始序列，X(1)为X(0)的1-AGO序列，Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列，

其中，

(2)灰色Verhulst模型的时间响应序列为

(3)还原值

2灰色Verhulst模型的改进

最近，文献[11]通过梯形公式改进了灰导数，优化了灰色Verhulst模型；并且给出了模型中参数a,b的最优估计式：

(1)

下面，我们以文献[11]提供的模型为基础着重讨论初始值的优化问题.

众所周知，传统灰色Verhulst模型通常把x(1)(1)=x(0)(1)作为模型的初始值，这样做是为了计算简单，但缺乏科学性. 为此，文献[9]根据灰色系统的新信息原则[1,2]，提出了以X(1)的第n个分量x(1)(n)作为初始值，对Verhulst模型进行改进，并且给出了以新信息x(1)(n)为初始值的时间响应序列

(2)

(3)

为求出扰动因素η，我们建立如下无条件优化模型

亦即

(4)

因此，优化问题(4)可转化为如下情形：

(5)

定义指标函数

为简单计，引入符号

则上式可写成

-abR+aQ]

亦即

从而可得到一个关于扰动因素η的简单而有效的计算公式

(6)

利用参数a，b的最优估计式(7)以及初始值修正为x(1)(n)+η和(6)式，我们得到如下改进的灰色Verhulst模型.

(2)灰色Verhulst模型的时间响应序列为

(3)还原值

3实例验证

现以2000-2008年我国高速公路事故死亡人数的变化实测数据为例，建立改进模型，并与传统灰色Verhulst模型进行比较.

选用表1中前6个数据X(0)={2162，3147，3927，5269，6235，6407}建立模型，后3个数据用于模型的检验.

表1　全国高速公路2000-2008年事故死亡人数统计表(人)

3.1　传统灰色Verhulst模型

于是，传统灰色Verhulst模型的时间函数响应式为

k=0, 1, 2, ……

3.2　改进的灰色Verhulst模型

改进模型的建立优化和预测过程如下:

1)通过原始序列X(0)，计算得到累加生成序列X(1)和紧邻均值生成序列Z(1)；

2)利用上述数据序列，分别求得

的结果；

3)根据定理2中(1)式，计算模型参数值a,b；

6)计算模拟误差，并进行精度检验.

为便于比较，现将传统灰色Verhulst模型、改进的灰色Verhulst模型在三步之内的预测值及平均误差列表如下：

表2　两种不同模型预测结果及相对误差比较

从表2可以看出，传统Verhulst模型在三步之内的平均预测误差竟达12.4%，而改进模型的误差只有8.01%，远低于传统Verhulst模型的平均相对误，有较好的预测效果. 同时，文中所提供的扰动因素η的计算简单、有效，也弥补了以往研究Verhulst模型时，文献中没有扰动因素η计算公式的不足.

4结论

本文基于新信息原理，对模型的初始值增加扰动因素η，即把x(1)(n)+η作为新的初始值；然后通过最小化原始序列的一次累加序列与模拟序列之差，建立非约束优化模型，并得到一个扰动因素η的计算公式. 实例表明，改进模型可以有效提高模型精度，从而拓广了模型的使用范围.

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[责任编辑：Z]

Study on Optimizing the initial Value of Grey Verhualst Model

WANG Jian

( School of Mathematics and statistics, Anyang Normal University, Anyang 455000, China )

Abstract:This paper discusses the optimizing initial value of grey Verhulst model, by adding the disturbing factors into the initial value of the model, and minimizing the differences between the 1-AGO sequence and simulation sequence of raw sequence and building an unconstrained programming model. It obtains a formula of disturbing factors, an amendatory grey Verhulst model was proposed in the paper. By comparison and analysis of some examples that amendatory model can have higher precision practicability and reliability

Key words:grey Verhulst model; disturbing factors ; modified initial value

[中图分类号]N914.4; F224.9

[文献标识码]A

[文章编号]1671-5330(2015)02-0001-05

[作者简介]王健(1972-)，男，河南安阳人，安阳师范学院副教授，主要从事灰色系统理论研究。

[基金项目]河南省自然科学 (0511013800)

[收稿日期]2015-01-20