KdV方程的简单行波解研究

罗广辉，黄 英

(1.云南大学 数学与统计学院，云南昆明 650091;2.楚雄师范学院数学与统计学院，云南楚雄 675000）

1895年，荷兰著名的数学家Korteweg和他的学生de Vries在对孤波进行全面分析后建立了KdV方程

随着非线性现象研究的深入，人们发现有一大类描述非线性作用下的波动方程或方程组，在长波近似和小振幅假定下，均可归纳为著名的KdV方程(1），例如等离子体的磁流波、离子声波、非谐振晶格的振动、液气混合物中的压力波以及低温下非线性晶格的声子波包的热激发等等［1，2］.1965年，美国数学家Kruskal和Zabusky利用先进的计算机通过数值计算详细研究了KdV方程两波相互作用的全过程，发现孤波的形状和速度保持不变而具有弹性散射性质，并将这种稳定的孤波称为孤子，从此，一个研究非线性发展方程精确波解的热潮在学术界蓬勃地开展起来［2，3］.方程(1）作为一个典型的孤子方程，它的精确解自然会引起研究者的极大关注［4，5，6，7，8，9］.然而，这些解都是通过非常复杂的方法计算出来的，它们的结构都比较复杂，如果把这些解作为计算多波解的初始解的话，计算量会非常大，使我们下一步的研究工作无法进行，所以，我们不禁把目光投向结构简单的两个经典行波解。

1 KdV方程的精确行波解

根据研究资料［2］，我们知道，1895年，Korteweg和de Vries用直接积分法建立起KdV方程(1）的Jacobi椭圆余弦波解

对于上述行波解，我们不敢断言它们是新的，毕竟KdV方程(1）是著名的孤子方程，关于它的研究很多，但这些解可能会随着不同的研究方法零星地出现在各种研究资料中，而我们却通过简单直接的猜测－待定系数法把它们集中展现给感兴趣的研究者，如果把它们作为初始解去研究多重波解的话，这将会是一个好的开始，因为这些行波解的结构很简单.

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