一类带有函数指数的Logistic方程正解的有界性

冀铁果，赵雪婷，董 卫

(1.河北工程大学 理学院，河北邯郸056038;2.河北工程大学水电学院，邯郸056038)

我们将讨论方程

正解的有界性，其中λ(x)和a(x)是RN中正的连续函数，且存在正常数λ∞和β使得是连续函数且存在常数，使得

方程(1)揭示了空间异质性对化学反应影响的模型。对p＞1是正常数的情形，此类问题被广泛研究，详见参考文献［1－4］。我们综合利用文献［2］中的Sliding Method以及文献［3］中的比较原理，得到了方程(1)正解的有界性。

结论及证明

定理:存在正常数L＞1，使方程(1)的所有正解μ，都有μ≤L。当|x|→∞ 时，所有正解μ满足:

本定理的证明分解为引理1和引理2的证明。

引理1:如果μ是方程(1)的正解，则

设γ:}表示一条连续曲线，并且满足

取常数L＞ max{1，supRnμ}，使，则有

对任意小的正数ε＞0，总可在内找到足够大的正数R=Rε＞0使得不等式+ε和p∞－ε＜p(x)＜p∞+ε同时成立。由于 sup|x|=Rv＜1，所以可在区间(sup|x|=Rv，1)内选一个常数η，做方程

令wε表示方程(2)的唯一正解。根据文献［3］中的定理 1 可知，当 |x|→∞ 时，ωε→，即

可以取足够小的正数ε，使不等式 0＜成立。

假设k*＞1，则函数是C2上的非负函数且在上满足:

当k*≤1时，由于ωε≥v，且，所以μ=Lv≤Lωε。由式(3)可得

所以

［1］HENRI BERESTYCKI，FRANCOIS HAMEL，LUCA ROSSI.Liouville－ type results for semilinear elliptic equations in unbounded domains.Ann.Mat.Pura Appl.(4)，2007(3):469－507.

［2］WEI DONG.Positive solutions for logistic type quasilinear elliptic equations on RN .［J］.Math.Anal.Appl.，2004(2):469－480.

［3］YIHONG DU，LI MA.Logistic type equations on RN by a squeezing method involving boundary blow－up solutions［J］.London Math.Soc.2001，64(1):107 －124.

［4］YIHONG DU，LI MA.Positive solutions of an elliptic partial differential equation on RN［J］.Math.Anal.Appl.，2002(2):409 －425.