质量竖向不均匀分布时刚重比公式的探讨

陈伟伟

CHEN Weiwei

(温州设计集团有限公司，浙江 温州325000)

为控制高层建筑的整体稳定性和重力二阶效应，我国《高层建筑混凝土结构技术规程(JGJ 3—2010)》(以下简称高规)对弯曲型和弯剪型高层的刚重比提出了要求，即式(1)和式(2)。

式中:EJd—一个主轴方向结构弹性等效抗侧刚度;

Gi—各楼层的重力荷载设计值;

H—结构总高度;

n—楼层数。

当满足式(1)时，认为结构按弹性刚度计算的P-Δ 效应内力、位移的增量控制在5% 左右，如考虑实际刚度50% 的折减，则内力增量控制在10% 以内。重力二阶效应的影响相对较小，可忽略不计。当满足式(2)而不满足式(1)时，则按弹性刚度计算的P-Δ 效应内力、位移的增量控制在5%～10%，考虑实际刚度的折减，则内力增量约为10%～20%［1-2］。

高层建筑混凝土结构总体上可视为长细比3～9 的悬臂杆，由文献［2］可知，公式(1)、(2)建立在质量沿楼层均匀分布的基础上，即各楼层质量和层高均相等。而实际工程绝大多数不满足该假定。本文对质量沿竖向分布不均匀时的刚重比公式作一些探讨和改进，得出一些可供参考的结论。

1 控制二阶效应的刚重比限值

高层建筑混凝土结构稳定计算的力学模型简化为沿高度受多个集中荷载的中等长细比的悬臂柱，其精确解析解的获得是非常困难的。比较实用的方法是采用某种等效方法将不同位置的轴向荷载换算为悬臂柱顶部的荷载，进而求得临界荷载的近似值［3］。文献［3］介绍了悬臂柱受单个轴向荷载作用时，分别按临界荷载比值关系换算(由苏联学者卡罗波夫提出［3］，以下简称“卡氏法”)和按侧向位移相等换算(以下简称“侧移等效方法”)得出的悬臂柱顶部等效荷载。

1.1 考虑质量竖向不均匀分布时的刚重比公式的推导

高H 的悬臂柱，柱顶受单个集中荷载PH(图1)，其欧拉临界荷载PHcr为:

图1 悬臂柱受单个集中力

图2 悬臂柱受多个集中力

作为一种近似，当悬臂柱受多个集中力时(图2)，将所有Pi乘以换算折减系数βi后移到柱顶，则总的柱顶等效荷载近似为令

即β 为总的换算折减系数，则

由式(3)、(6)可得，

令

则式(9)即为以EI/H2为单位的的临界荷载。由文献［2］可知，考虑P-Δ 效应后的位移

式中Δ*和Δ 分别为考虑P-Δ 效应和不考虑P-Δ 效应的结构侧向位移;

将式(9)代入式(10)，可得

按文献［2］，当考虑P-Δ 效应后控制弹性位移放大系数为C1，即Δ*≤C1Δ;

将式(8)代入式(14)得，

当考虑P-Δ 效应后控制弹性位移增量在5%(C1= 1.05)或10%(C1= 1.10)以内时，有

式(15)、(16)即考虑质量沿竖向不均匀分布时的刚重比限值计算公式。通过计算结构的总重量质量分布β 及等效侧向刚度EJd就可以计算出刚重比及其限值，从而得到关于P-Δ 效应的判断，这就是规范的思路。可以看出，刚重比限值直接与换算折减系数β 成正比。

1.2 β 值的计算

对卡氏方法［3］，

对侧移等效方法［3］，

其中，

β 考虑了质量沿竖向的分布情况。对质量沿楼层均匀分布的高层建筑，当采用卡氏等效法时，

将β = 1/3 代入式(15)、(16)，可得:k ≥1.486(弹性位移增量≤10%)和k ≥2.837(弹性位移增量≤5%)。

按侧移等效方法可以得到β = 0.314，代入式(15)、(16)可得:k ≥1.400(弹性位移增量≤10%)和k ≥2.672(弹性位移增量≤5%)。

此即高规公式(1)、(2)，高规取k ≥1.4(或2.7)。

但是当质量沿楼层分布不均匀时，β 的值将与1/3 或0.314 相差较大。在某些情况下，若仍采用式(1)、(2)判断P-Δ 效应的影响范围，将使设计偏于不安全。下面以两个算例加以说明。

2 算例

2.1 算例一

一栋20 层的建筑(理想化为受20 个集中力的等截面均质悬臂柱)，质量分布上小下大，假设成1.05 的等差数列，则由卡氏方法、侧移等效方法分别计算其临界荷载，并给出有限元特征值屈曲分析结果作为对比(表1)，侧移等效方法部分细节见表2。

注:(1)有限元特征值屈曲分析的β 是根据临界荷载系数反算的，为保证计算精度，每个柱单元细分为三段［5］;(2)临界荷载系数× 即为表2、表4 中临界荷载因子P;(3)误差均相对有限元解而言。下同。

表2 侧移等效法例1 临界荷载系数计算细节

2.2 算例二

仍是一幢20 层的建筑，质量分布上大下小，假设质量比为1.05 的等差数列，则计算结果见表3，卡氏方法和侧移等效方法部分细节见表4。

表3 例2 计算结果对比

表4 侧移等效法例2 临界荷载系数计算细节

2.3 算例三

等截面直杆在自重作用下的临界荷载见图3。

图3 自重作用下的等截面悬臂杆

精确解［6］:

由侧移等效方法的推导如下:

由式(18)、(23)，可知

对式(26)积分并代入边界条件ξ(0)=0 可得，

将式(27)代入式(21)可得:

即β = 0.3135，将β 值代入式(8)、(9)可得:

结果对比见表5。

表5 计算结果对比

由表1、表3 可见，对于质量分布为上小下大的结构(金字塔型，如上海中心［4］)，其临界荷载系数较高，而换算折减系数β 较小(小于0.314)。对于质量分布为上大下小的结构(倒金字塔型)，其临界荷载系数较小，换算折减系数β 较大(大于0.314)，若仍采用式(1)、(2)判断P-Δ 效应的影响范围则偏于不安全。由表1～5 可见，卡氏方法在质量均匀分布时，误差为5.58%，当质量集中在上部楼层时误差小于该值，当质量集中在下部楼层时，误差大于该值;而侧移等效方法则具有相对较高的精度(均是与有限元屈曲分析结果比较，基本均在5% 以内)，并且实际工程一般情况下质量集中在下部，也就是卡氏方法的误差总是大于5.58% 的，所以推荐使用侧移等效方法。

3 特征值屈曲稳定系数与刚重比

将式(3)代入，可得

代入式(10)、(12)可得

由式(31)、(32)可见，λ 与二阶效应位移放大系数直接相关，是控制二阶P-Δ 效应更直接的参数(由文献［2］知其对侧向变形为剪切型的结构也是成立的)。

上海中心在1.0 恒载+1.0 活载下的第1、2 阶屈曲系数为14.35 和14.79［4］，其在1.2 恒载+ 0.6活载下的屈曲系数近似估算(根据恒载活载比例按总荷载相等近似)为12.96 和13.35，代入式(31)，其二阶效应放大系数为1.084 和1.081，即位移增幅约为8.0%，与其计算符合。

由特征值屈曲稳定系数λ 可以反算刚重比进行复核。由式(30)可以得到

对于实际工程，可以通过特征值屈曲分析得到稳定系数λ，再通过实际工程的Pi分布和Hi分布计算得到临界荷载系数a 值，进而可以复核刚重比k。值得注意的是，由于高规规定的刚重比验算重力荷载设计值采用了1.2 恒+ 1.4 活的组合，因此由式(33)复核刚重比，计算稳定系数λ 时，应采用同样的重力荷载设计值。

对上海中心［4］而言，β = 0.25，代入式(8)得a = 9.870，1.2 恒载+1.4 活载下的屈曲系数近似估算(方法同前)为11.66 和12.02，代入式(33)得X 向 kx= 11.66/9.870 = 1.18，Y 向 ky=12.02/9.87 =1.22，

将β = 0.25 代入式(15)、(16)可得:k ≥1.115(弹性位移增量≤10%)和k ≥2.128(弹性位移增量≤5%)。

kx和ky均大于1.115，与原文结果符合。

4 结语

(1)通过对沿高度受多个集中荷载的中等长细比的悬臂柱临界荷载的推导，引入质量分布换算折减系数β，对高规式(5.4.1 -1)和(5.4.4 -1)进行了推广，即式(15)、(16)，使之适用范围更广;同时对β 值两种计算方法的精度进行了对比分析，侧移等效方法计算的β 值具有更高的精度。

(2)控制高层建筑线性P-Δ 二阶效应更直接的参数是特征值屈曲稳定系数λ，λ ≥11 时，二阶效应位移增量不大于10%，λ ≥21 时，二阶效应位移增量不大于5%。由于高规规定的刚重比验算重力荷载设计值采用了1.2 恒+1.4 活的组合，所以为复核刚重比及二阶效应增量，而验算特征值屈曲稳定系数时，应采用同样的组合。特征值屈曲稳定系数λ 可以与刚重比互相校核。

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