抗差Helmert方差分量估计在三维平差中的应用

石 岩，高俊强

（南京工业大学 测绘学院，江苏 南京210000）

在工程三维控制网平差中，由于涉及斜距、水平方向和竖直角三类观测数据，因此，如何准确地确定这三类观测值的权比，不仅影响参数估计的精度，而且对平差模型的结果检验具有重要意义。平差模型检验能否通过，除了可能受到起算数据精度影响之外，各类观测值权比确定不合理也是一个重要原因。

为了解决多类观测数据合理定权的问题，提高数据处理结果的可靠性，针对三维网数据处理方法，平差学者提出了方差分量估计的方法。该方法最大的优点是避免了不可靠且复杂的多类观测量的先验方差，但是未能考虑多类观测数据含有粗差的情况。若观测值中含有一定量的粗差，会导致平差结果偏离真值，从而直接影响平差结果的正确性。本文在采用Helmert方差分量估计进行三维网定权的基础上，将抗差估计引入到三维平差定权过程中，以减弱三维控制网多类观测值受粗差的影响，合理分配权值，使估计结果不受初始权的影响并获得最优的平差值。

1 Helmert方差分量估计

合理确定不同类观测值或不同种精度观测值权比的常规途径是进行Helmert方差分量估计。在三维控制网平差中，虽然水平角观测值和竖直角观测值的标称精度相同，但在实际测量过程中，竖直角观测值的精度低于水平方向观测值，所以不能将观测值简单地分为边角两类处理，本文在下面的讨论中，采用方差分量估计对斜距、水平方向和竖直角三类观测值进行研究。

则根据间接平差原理，由式（3）、式（4）可得法方程：N＾x＝W，即BTPB－BTPl＝0，由此可求得未知参数改正数

一般情况下，第一次平差给定的三类观测值的权是不恰当的，也就是它们所对应的单位权方差不相等，令其分别为，则有

式中：DL1，DL2，DL3分别为斜距、水平方向和竖直角的方差阵。

同理可解得Wσ2，Wσ3，此处不再赘述。

式（7）即为Helmert方差分量估计公式，通常情况下，被估参数个数与方程数个数相同，则存在唯一解，其解为

因此，在三维平差中，方差分量估计的迭代步骤为：

1）进行三类观测值的验前权估计，确定斜距、水平方向值和竖直角三类观测值的权的初值和。

2 结合IGGⅢ的Helmert抗差分量估计

抗差估计是在粗差干扰不可避免的情况下，选择适当的估计方法，得出最优或接近最优的参数估计，一般利用等价权的方法对可疑数据进行降权处理，使平差结果抵御粗差的影响；Helmert方差分量估计则是调整不同类观测值间权比，从而进行合理定权的常用方法。为了在进行Helmert方差分量估计的同时抵御粗差，可以通过等价权的方法充分利用参数的先验信息，对可疑数据进行降权处理，使其对平差结果影响减弱。

如果第i类观测值Li含有粗差，则会歪曲其参数估值和方差分量估值，为有效抵制观测值异常信息对X和的影响，建立目标函数

式中：ρ为一个连续的凸函数，（Pj）i和（Vj）i分别为Lj的权函数和残差函数。

基于等价权原理，由所提供的已知量信息得到

选取合适的权函数确定等价权矩阵¯P，此处采用IGGⅢ方案：

3 算例与分析

3.1 实例

以某工程控制网的全站仪三维观测数据为例，如图1所示，其中控制点A，B是已知点，点C，D，E，F为未知点，由徕卡TCA2003全站仪测得各水平角、垂直角和斜距。为了验证本文方法的可行性，现对6号水平观测角加入15″粗差，对模型进行比较分析。

图1 施工控制网

根据控制网三维观测数据采用上述方法计算，此处采用两种方案进行研究：1）对不含有粗差的控制网，先使用Helmert方差分量估计计算求解，再使用抗差Helmert方差分量估计求解，两者对比结果如表1所示。2）加入粗差后，先使用Helmert方差分量估计计算，再使用抗差Helmert方差分量估计计算，两者对比结果见表2。

表1 不含粗差的三维平差结果比较 dm

表2 含粗差的三维平差结果比较 dm

3.2 算例结果

由于本文在对该算例的不同模型比较前进行了方差一致性检验且检验结果通过，则算例视为不存在粗差，此时将加入粗差前的Helmert方差分量估计模型计算结果视为比较标准。

3.3 结果分析

1）由表1可知，在不含粗差的情况下，采用Helmert方差分量估计可以根据验后信息使三类观测值的权比更为合理，平差结果具有较高的实用性，同时采用抗差Helmert方差分量估计计算的结果也与前者较为接近（算例中，两种方法计算结果的较差绝对值均未超过5mm，可认为计算结果基本一致）。因此，抗差Helmert方差分量估计在没有粗差的情况下可作为平差模型正常使用。

2）由表2可知，当观测值中含有粗差，由于Helmert方差分量估计以最小二乘原理为基础，对粗差的抵抗性很弱，因此，少量粗差的出现会影响参数估计，表2中左侧的计算结果出现很明显的震荡现象。而使用抗差Helmert方法分量估计算得坐标改正数与不含粗差的坐标改正数差值较小，说明该方法能使参数估值有效地抵御粗差的影响，对提高数据处理精度和平差结果的可靠性具有一定的可行性。

4 结束语

在对现有三维平差算法分析的基础上，本文考虑了粗差对各类观测值的影响，将Helmert方差分量估计与抗差估计模型相结合，解决了各类观测值中出现的粗差问题，完善了Helmert方差分量在三维平差中的应用。本文推算了三维平差定权的理论模型，并结合具体的工程实例对该模型进行验证。通过几种方案的对比研究表明，采用抗差Helmert方差分量估计确定三维控制网各类数据的权比，能有效地改善粗差对三维平差结果的影响，提高对各类观测信息的容错能力，获得可靠的参数估计和平差精度。

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