基于时间序列的基坑地表沉降预测模型及其应用

郑 丽，白宝玉

(1.宿州学院环境与测绘工程学院，安徽宿州 234000；2.重庆市公安局科技信息化处，重庆 401147)



基于时间序列的基坑地表沉降预测模型及其应用

郑 丽1，白宝玉2

(1.宿州学院环境与测绘工程学院，安徽宿州 234000；2.重庆市公安局科技信息化处，重庆 401147)

针对地铁工程地表沉降监测预报问题，分析时间序列分析中求和自回归移动平均模型理论；结合某地铁车站地表沉降的一个监测点连续39期的沉降实测资料，研究地铁施工过程中基坑周边地表沉降监测点的变化趋势。应用ADF单位根检验完成时间序列数据平稳性检验，根据自相关偏自相关函数分析来进行模型参数定阶。在经过比较ARIMA(1,1,1)、ARIMA(1,1,2)、ARIMA(1,2,1)、ARIMA(1,2,2)四种模型，基于AIC准则和BIC准则以及相关系数R2确定最终拟合模型为ARIMA(1,1,2)，计算得出模型实际值与预测值吻合较好，并经计算得出平均残差值和平均相对误差分别为-0.0185mm、2.72%，证明了模型的有效性，满足短期预测需求，可为地铁车站施工安全监测预报研究提供一定的借鉴。

地表沉降监测；求和自回归移动平均模型；预测

地铁的出现为城市的发展提供了更大的空间，是城市不可或缺的交通工具[1]。由于反复“卸载-加载”作用，施工过程可能造成水土流失，同时将扰动地层。地铁车站施工引起地层应力场重分布，应力场调整过程中引发地层变形[2]，产生的地层变形又可能引起已有建(构)筑物、道路、管线沉降、倾斜、开裂等情况，引起较大的地表变形，从而导致地表发生下沉、倾斜变形、水平移动及非连续变形等。因此，在地铁车站施工过程中，变形监测显得尤为重要。

城市建筑高密度地区的基坑，尤其是开挖范围和深度较大的地铁车站基坑的施工对周边建筑物的影响需要重点监控[3]。在基坑开挖与降水的同时，往往伴随着基坑周边的地表沉降[4]。地表沉降变形的有效控制是安全施工的关键，由于其影响因素较多，现有理论很难对其进行有效估计。地表沉降预测通过建立相关模型获得预测变形值，是地铁施工及周边建筑物安全评价的基础。

近年来，很多学者对地表沉降预测问题展开研究。李宏辉运用最小二乘支持向量机建立基坑地表沉降预测模型，借助网络搜索算法优化模型参数，实现基坑周边地表沉降连续滚动预测[5]。危来龙针对地表沉降波动较大对预测模型造成扰动的问题，运用Mallat算法对沉降序列完成分解和重构出平滑和细节分量，应用灰色模型对平滑分类进行拟合，而对细节分量用马尔科夫模型进行预测，进而叠加各模型的预测结果，得出原始序列的沉降预测值[6]。而求和自回归移动平均模型(ARIMA)具有很多其他方法难以比拟的优点：它通过时间序列过去时点上的信息，建立模型拟合过去的信息，进而预测未来的信息。从数据序列本身出发建立模型，从根本上避免了寻找主要因素及识别主要因素和次要因素的困难[7]。为此，笔者比较了几种ARIMA模型，阐述模型识别及参数选择等问题，以工程实例说明基于求和自回归移动平均模型进行地表沉降预报是有效的，可为地铁车站施工安全监测预报工作提供一定的借鉴和参考。

1 求和自回归移动平均模型(ARIMA)概述

自回归移动平均模型(Auto-Regressive Moving Average Model，ARMA)由博克斯(Box)与詹金斯(Jenkins)创立，也称为B-J方法，ARMA模型主要有三种形式：AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)，其中p为自回归项，q为移动平均项，但三种模型仅仅适用于处理平稳序列的自相关。

对于平稳、正态、零均值的时间序列{Yt}，若Yt的取值不仅与其前p步的取值Yt-1,Yt-2,…,Yt-p有关，而且与其前q步的白噪声et-1,et-2,…,et-q有关，利用多元回归的思想对Yt建模，得到自回归滑动平均ARMA(p,q)模型[8]，其表达式如下：

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2…+φpYt-p+et-θ1et-1-θ2et-2-θqet-q.

(1)

其中，φ1,φ2，…，φp是自回归系数，p是自回归阶数，et是白噪声序列，θ1，θ2，…，θq是滑动平均系数，q是滑动平均阶数。

φ然而，时间序列的数字特征往往是随着时间的变化而变化的，对于非平稳时间序列各个时间点上的随机规律是不同的，对于非平稳序列可以进行d阶差分，将其变为平稳序列，再使用B-J方法，建立求和自回归移动平均模型，该模型实质是d阶差分运算和ARMA(p,q)模型的集合，记为ARIMA(p,d,q)，其中p为AR模型阶数，q为MA模型的阶数，d为差分阶数，其通用表达式[9]如下：

Wt=Yt-Yt-1=φ1(Yt-1-Yt-2) +φ2(Yt-2-Yt-3)+…+φp(Yt-p-Yt-p-1) +et-θ1et-1-θ2et-2-θqet-q

=φ1Wt-1+φ2Wt-2+…+φpWt-p+et-θ1et-1-θ2et-2-θqet-q.

(2)

2 数据来源及预处理

2.1 工程背景

本文选取的某地铁车站土建工程由主体结构和附属结构两部分组成。主体结构布置为地下二层，站厅层布置于地下一层，站台层位于地下二层，采用明挖顺作法，该地铁车站结构外包总长度为170.9m，车站标准横剖宽19.6m，高13.14m。附属结构基坑深约9.0m，采用SMW工法桩加内钢管支撑，车站所处周围环境比较简单，距离周边建筑物较远，地下管线较为密集且部分年久失修。表1为选取的某地铁车站一个地表沉降监测点39期连续观测数据。

2.2 ADF单位根平稳性检验

ADF(Augmented Dickey Fuller)检验法是由Dickey和Fuller于1979年提出的单位根检验方法。该方法是对DF检验适用范围的推广，所以常被称为增广DF检验。其特点是：假设时间序列是由一个P阶自回归过程AR(p)生成的，然后建立估计模型来估计参数并进行单位根检验[10]。

应用ARIMA模型之前需要检验原始序列的平稳性，本文应用ADF单位根检验法对表1中地铁车站地表沉降监测点监测数据进行平稳性检验。原始序列和一阶差分序列的ADF单位根检验结果如表2所示。

表2 变量的ADF单位根检验结果

根据表2变量的ADF单位根检验结果分析，原始序列的ADF统计量-0.565774大于1%显著水平下临界值-2.2630762、5%显著水平下临界值-1.950394、10%的显著水平下的临界值-1.611202，接受原假设，其含有单位根，因而原始序列在水平情况下是非平稳序列。显然，一阶差分序列的ADF值分别为-4.038999小于1%显著水平下临界值-3.632900、5%显著水平下临界值-2.948404和10%显著水平下的临界值-2.612874，故而拒绝了原假设，表明一阶差分序列不存在单位根，是平稳序列。通过ADF单位根检验可知：原始序列为非平稳序列，经过一阶差分之后的序列为平稳序列。因而，ARIMA(p,d,q)模型中的值d为1。

3 应用ARIMA模型建立地表沉降监测预测模型

3.1 模型的识别

在应用ARIMA模型解决实际问题的过程中，模型阶数确定是建模的一个难点。经过ADF检验得出原始序列为1阶单整序列，确定模型中的d值为1之后，只需确定模型中的p和q。由于MA(q)模型的自相关系数是在q步以后截尾的，而AR(p)模型的偏自相关系数是在p阶截尾的，所以可以通过自相关系数(ACF)和偏自相关系数(PACF)来识别ARIMA(p,d,q)模型。从图1中可以判断一阶差分序列的自相关系数在1阶拖尾，而偏相关系数在1阶拖尾，二者均表现为拖尾的性质，根据自相关函数的拖尾阶数即为q，偏自相关函数的拖尾阶数即为p，因此建立的ARIMA(p,d,q)可以初步确定为ARIMA(1,1,1)模型。

图1 一个地表沉降监测点一阶差分的相关系数图

3.2 模型的定阶

时间序列模型中，因变量中往往会包含一些滞后期的变量，而且滞后阶数越高，模型的拟合效果越好，那么，就必须选择一个统计量来确定最佳滞后长度。选择最佳阶数时，可以选择日本学者赤池(Aka-Ike)提出的AIC信息准则，也可选择贝叶斯(Bayesian)信息准则(BIC)来进行模型参数阶数判定。实际应用中，对所组建的模型，要求AIC值和BIC值越小越好[11]。本文对于ARIMA(p,d,q)模型的p和q采用AIC准则和BIC准则进行定阶，选择最优的拟合模型，得到结果如表3所示。

表3 基于AIC和BIC准则的多个ARIMA(p,d,q)模型检验结果比较

从表3中模型检验结果可以看出，ARIMA(1,1,2)模型与其他模型相比，AIC达到最小，BIC在4个模型中仅次于ARIMA(1,1,1)达到最小。在时间序列模型中，要求所相关系数R2越大(越接近于1)，表明模型的拟合效果越好。4个模型中，以ARIMA(1,1,2)拟合优度最好，达到68.8%。所以选择ARIMA(1,1,2)模型作为最佳的拟合模型。

3.3 模型的检验与应用

模型是否合适，需要对其拟合优度进行检验，典型的方法是对观测值和模型拟合值的残差进行分析。如果残差序列不是白噪声序列，则说明还有信息包含在相关的残差序列中未被提出，模型其他参数不能完全代表建模对象的统计性质，即所建模型不是最终模型，此时可对残差拟合更复杂的模型，以充分提炼资料的信息[12]。

本文将预处理后的37期地表沉降监测点数据用于ARIMA(1,1,2)建模，2期地表沉降监测点实测数据检验预测效果，将残差值、预测值、相对误差列入表3。基于ARIMA(1,1,2)的预测结果残差很小，精度很高，在基坑周边地表沉降变形预测中能准确预测基坑周边地表沉降。由表4的残差统计结果绘制残差的自相关图2可知，通过对参与建模的37期数据残差序列自相关系数与0显著无差异，检验发现其为白噪声序列。

利用已经通过残差检验的模型进行预测，通过计算得到2组实测值为2.4mm的地表沉降量的预测值分别达2.4043mm和2.4101mm，残差分别为-0.0043mm和-0.0101mm，相对误差甚小，分别为0.18%和0.42%。为了更好地说明该模型预测的精度较高，计算得到连续39期数据预测值与实际值平均残差值为-0.0185mm，模型预测值与实际值平均相对误差为2.72%。从图3可以看出，ARIMA(1,1,2)模型拟合效果较好，实测值与预测值吻合较好，模型可靠。

表4 一个地表沉降监测点沉降预测值、残差及相对误差

图2 残差序列的相关系数图

图3 一个地表沉降监测点实测值与预测值对比图

4 结语

在地铁车站的施工过程中，进行周边地表沉降监测是非常有必要的。根据监测过程所得数据，及时发出预报，提前做好相应处理，有利于对基坑及周边环境安全进行有效的控制，可保证施工安全、长期地进行。本文基于地铁车站地表沉降监测中某个监测点39期实测数据，将预处理后的37期数据建立ARIMA(1,1,2)模型，其余2组数据对模型的预测值进行检验。通过实证分析得出以下结论：

(1)应用ADF单位根检验实现原始序列平稳性检验，发现原始序列在1%、5%、10%的显著性水平上接受了原假设，而一阶差分序列在1%、5%、10%的显著性水平上拒绝了原假设，故原始序列为1阶单整序列；(2)对于平稳一阶差分序列，引入求和自回归移动平均模型。在应用该模型过程中，模型参数如何确定是难点。通过考察数据样本自相关、偏相关函数，发现二者均具有拖尾性质，初步判定模型为ARIMA(1,1,1)；(3)本文研究了ARIMA模型阶数识别及参数估计问题。通过比较ARIMA(1,1,1)、ARIMA(1,1,2)、ARIMA(1,2,1)、ARIMA(1,2,2)四种模型，并借助于AIC和BIC准则及相关系数R2，证明在现有地铁车站基坑地表沉降37期观测数据参与建模条件下，确定最佳拟合模型为ARIMA(1,1,2)，其拟合优度达到68.8%，而AIC和BIC值相对较小；(4)将预处理后的37期地表沉降监测点数据用于ARIMA(1,1,2)建模，2期地表沉降监测点实测数据检验预测效果，通过计算得出模型实际值与预测值吻合较好，模型预测值与实际值平均残差值为-0.0185mm，平均相对误差为2.72%，表明该模型能准确实现地表沉降监测实时预报，可为地铁车站基坑工程监测和预报变形提供一定的参考。

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Forecasting Model and Its Application based on Time Series for Ground Surface Subsidence of Foundation Pit

ZHENG Li1，BAI Bao-yu2

(1.School of Environment and Survey Engineering, Suzhou University, Suzhou Anhui 234000, China;2.Science Information office of Chongqing Police, Chongqing 401147, China)

Aiming at some problems of the surface settlement monitoring and prediction for the subway engineering, and according to the theory of time series analysis and summation auto-regressive moving average model，this article studies the changing trends of monitoring point of surface subsidence of foundation pit, combining the measured data of the surface settlement of a subway station 39 consecutive period of a monitoring the settlement of the subway construction. Applying ADF unit root test to complete time series data stationarity test, the model parameters are determined by the autocorrelation function analysis. Comparing the four models of ARIMA (1,1,1), ARIMA (1,1,2), ARIMA (1, 2, 1), ARIMA(1,2,2) and based on the AIC criterion and BIC rule and correlation coefficient R2, the final fitting model ARIMA (1,1,2) is adopted. The calculated results are in good agreement with the predicted values, and the average residual value and the average relative error are -0.0185mm and 2.72% respectively. This proves the validity of the model and meets the demand of short-term prediction. Therefore, it can provide some reference for the subway station construction safety monitoring and forecast research.

surface subsidence detection; summation auto-regressive moving average model; prediction

2015-08-11

宿州学院大学生科研项目(KYLXLKYB15-06，KYLXLKYB15-09)；宿州学院安徽省煤矿勘探工程技术研究中心开放课题(2013YKF04)；宿州学院校级项目(2011yss03)。

郑 丽(1983- )，女，江苏洪泽人，宿州学院环境与测绘工程学院讲师，硕士，从事3S技术及其一体化研究。

TU463

A

2095-7602(2015)10-0075-06