不确定时间延迟下RMPC的保代价区域优化研究＊

易永红 ， 林晓佳

（1.四川大学 计算机学院，四川 成都610044；2.绵阳职业技术学院 计算机科学系 四川 绵阳621000；3.福州大学 数学与计算机科学学院，福建 福州350116；4.中国科学院 北京100864）

系统在通信、测量或者计算处理过程中产生的延迟会使得系统的性能下降，或者会导致系统控制循环的不稳定［1］，因此在系统控制器的设计过程中要考虑这种时间延迟.然而在实际场景中，时间延迟往往是未知的，主要由以下原因产生：不可预料的系统行为改变，操作环境的改变，组件的失效，以及通信连接的重新配置等［2］.在这种时间延迟不确定的情况下，必须采取有效的控制策略来保证系统的稳定运行.为了应对上述问题，研究人员采用RMPC（Robust Model based Predictive Control）［3］技术来处理延迟的不确定性.

当系统模型中存在不确定性时，RMPC是一种滚动时域优化控制技术，其目标是在满足一定的约束条件下确保系统的稳定性［4］.在预测控制系统中，大多数的稳定性措施都有一个基本的假设前提［5］，即在每个时间步都可以进行系统的优化，因而系统的稳定性和约束处理是紧密相连的.在这种情况下，为了对模型进行近似处理（如线性化和降阶），健壮性在系统的设计过程中十分重要.

在典型的RMPC公式中，控制策略通过对最小值或者最大值优化问题进行在线求解，并且通过一系列不确定设备对代价函数的最坏值进行评估［6］.然而，在控制器的实际部署中，实时部署的计算量相当大.为了应对这种情况，Rossi等人［7］提出了一种基于线性矩阵不等式［8］的RMPC方法，该方法应用数值解法可以在多项式时间内进行系统的最优控制.研究表明，［8］的方法可以转化为半正定规划问题，通过加入额外的线性矩阵不等式来表示系统的操作约束［9］.为了较小保守型，［10～12］在［7］的基础上提出了不同的应对方法.此外，还有一些研究方法关注系统的输出反馈［5，12，13］，非线性系统［14］，非对称输出约束［15］等.在确定保代价区域的过程中，为了进一步分析系统中的已知和未知输入延迟，本文对［7］提出的方法进行了扩展，在系统的状态向量中包含了历史的控制值信息，提出了一种基于线性矩阵不等式的保代价区域分析方法.

1 基于线性矩阵不等式的RMPC

在不确定状态空间模型下，RMPC的公式描述为：

其中x（k）∈ℝnx和u（k）∈ℝnu分别为系统在k时刻的状态和输入变量，参数A，B∈Ω，Ω为不确定的多面体，节点为Ai∈ ℝnx×nx 和Bi∈ ℝnx×nu，i＝1，2，…，L.令Cl∈ ℝ1×n（l＝1，2，…，ny）为已知的约束向量，那么输出变量为yl（k）＝Clx（k）.令无穷时间跨度的代价函数为：

其中S∈ℝnx×nx和R∈ℝnu×nu为正定的权重矩阵，（·｜k）为根据k时刻的可用信息计算得到的预测值.如果系统的状态可以直接测量得到，那么x（k｜k）＝x（k）.

在t时刻，RMPC的优化问题可以形式化描述为：

其必须满足的约束条件为

其中ur，max和yl，max分别表示第r个输入和第l个输出的放大边界.

根据［8］，代价函数J∞（k）的上届γ可以通过最小化如下所示的半正定规划问题得到：

其约束条件分别如下

此后，将预测函数F＝YQ－1应用于状态反馈控制规则中，使得u（k＋j｜k）＝Fx（k＋j｜k）.为了简化符号的表示，在下文的论述中用P（x（k））表示公式（6）～（10）所示的半正定规划问题.

通过在滚动时域中应用控制规则（即在每个采样时刻k通过求解P（x（k））得到新的增益矩阵F），如果P（x（k））在初始时刻k＝0有可行解，那么封闭环系统是渐进稳定的［8］.因此，如果优化问题P（ξ）有可行解（即将x（k）替换为ξ后线性矩阵不等式（7）～（10）表示的系统存在着可行解（γ，Q ＞0，Y，X，Z）），那么初始条件x（0）＝ξ∈ ℝnx 是可行的［7］.

1.1 保代价区域分析

其约束条件除了要满足公式（8）～（11）所示的线性矩阵不等式外，还要满足

其中常数向量ξ∈ℝnx定义了极点的延伸方向.于是，可以得到极点β＊ξ，并且对于不同的ξ得到凸壳的所有极点，从而得到的内部近似区域.当→∞时，上述半正定规划的解包含的区域内的所有点都为可行的初始条件，这对应于封闭环系统的原区域的吸引区域［7］.令吸引区域为D，那么可以根据得到的极点构成的凸壳得到D的内部近似区域.

2 不确定输入延迟的RMPC

在（1）所示的不确定系统模型的基础上，如果令已知的输入延迟τ作为输入参数，那么可得

为了进行简化分析，假设系统仅有一个输入参数，即nu＝1.此时，通过对状态空间进行放大，使其包含历史的控制信息可得，于是，状态空间方程为：w（k＋1）＝Aww（k）＋Bwu（k），Aw∈Ωw，其中为不确定的多面体，其顶点为Awi∈ℝ（nx＋τ）×（nx＋τ）.为了描述时间延迟的不确定性，令τ∈ ［0，τ－］是未知的，其中最大时间延迟τ－是已知的，因为控制系统的最大通信延迟是已知的.于是，放大后的状态可定义为v（k）∈ℝnx＋τ－：

从而，对应的状态空间方程为：

于是，多面体Ωv的顶点为当时间延迟的下届为时，令，可以得到对应的不确定模型表示.

2.1 不确定时间延迟下的保代价区域分析

在不确定输入时间延迟下，模型的保代价区域可以通过半正定规划问题相应的状态空间方程（包含状态放大约束）进行求解得到.当时间延迟已知时，令放大的状态向量为w（k）＝；当时间延迟未知时，令v（k）＝ ［x（k），u（k－1），u（k－2），…，u（k－τ－）］T.最后，根据极点得到保代价区域Dγ－的内部近似值.

在特殊情况下，如果在初始时刻k＝0时，控制器的取值为u（－1）＝u（－2）＝ … ＝u（k－τ－）＝0，根据公式（12）令向量ξ中nx个元素后面的元素为0，那么得到的结果为原状态变量空间所对应的保代价区域.

3 仿真实验分析

3.1 实验设置

实验采用的不确定时间延迟系统为［7］所示的角度定位系统，研究的问题为电动机驱动的旋转天线的控制问题.该设备的动力学可通过如下的离散时间状态方程表示：

当执行器与控制器或者传感器分离时会产生时间延迟.系统采用通信连接进行信号的传递，当连接失效时，系统必须重新寻找更长的路由路径从而产生时间延迟.状态变量x1和x2分别表示天线的角度位置（rad）和角速度（rad／s），控制变量u为系统的输入电压（V），天线在移动过程中的摩擦用参数α表示，本文令α＝0.1.为了简化分析，模型中的唯一不确定因素为时间延迟τ.代价函数的权重S和R分别为I2×2和1，控制变量u的取值限定在［－2V，＋2V］之内，位置变量x1的取值范围为［－1rad，＋1rad］，定义输出变量为y＝Cx，其中C＝［1 0］.

3.2 实验结果

在实验中，我们令τ＝0，1和5为固定时间延迟；令τ∈［0，5］和τ∈［4，5］为不确定的时间延迟.图1和图2分别为＝50和＝500两种情况下保代价区域的内部近似区域，这两幅图中每个多边形都包含32个极点.经过对两幅图的对比可以看出，＝50时的保代价区域小于＝500时的保代价区域，这表明当初始状态值与原始值相接近时可以得到更小的代价.

图1和2所示的结果表明，当时间延迟不确定时，这种不确定性带来的性能损失比时间延迟本身还要大.为了进一步阐述上述情况，图3对比了τ＝5，τ∈［0，5］和τ∈［4，5］三种情况下的.当τ∈［4，5］时，根据Av和Bv的定义系数λ0，…，λ3都为0，不确定性取决于λ4和λ5.因此，该线性矩阵不等式系统的约束要小于τ∈［4，5］时的不确定系统（λ0，…，λ5都为不确定参数）.从图3可以看出，τ∈［4，5］所示的区域要大于τ∈［0，5］所示的区域，这表明准确地描述不确定时间延迟可以得到更小的代价.

4 结束语

在实际场景中，系统的时间延迟往往是不确定的，为了应对这种时间延迟的不确定性，必须采取有效的控制策略来保证系统的稳定运行.本文在传统RMPC的基础上引入了不确定时间延迟，分析了不确定时间延迟下系统的保代价区域.首先，介绍了线性矩阵不等式约束下的RMPC，并分析了相应的保代价区域.接下来，在RMPC中引入不确定时间延迟，通过对系统状态空间进行放大，使其包含了更多的历史状态信息.最后，依据最大时间延迟分析了不确定性对控制系统性能的影响，并分析了相应的保代价区域.仿真实验表明，控制系统的保代价区域随着时间延迟的增加而逐渐减小，并且时间延迟的不确定性范围越大系统的保代价区域越小.

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