数学解题，“三审”题目

文/李菁菁 高明

波利亚在《怎样解题》中提到解题的第一个环节是“弄清问题”，它是对问题表征进行认识的过程，通过审条件、审结论、审方法三方面去理解题意，抓住关键信息，明确命题的意图，进而找到解题的突破口，“三审”是成功解决问题的前提。

一、审条件

条件是解题的基础和依据。审条件就是要充分利用题目中的已知条件，将条件进行分解、转化、组合，挖掘隐含信息，找到它们之间的内在联系，同时要抓住关键特征，明确命题的意图，寻找解题的突破口。

x+y=_______.(2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛)

分析与解答:条件是关于变量x，y的高次方程，单独解出x，y非常困难。抓住题目中的隐含条件，即方程的结构特征和数量特征，将其变形为:

观察可发现这两个方程有较明显的特征，两式的左边结构相同，右边的两个数互为相反数。此时可构造函数f(t)=t2011+t2009+2010t，再利用相关性质:

(1)函数f(t)为奇函数，有f(x-1)=-f(y-1)=f(1-y);

(2)函数f(t)为R的单调递增函数，则由f(x-1)=f(1-y)可得x-1=1-y。

故x+y=2。

二、审结论

结论的证明或解答是解题的目的、落脚点。审结论就是在解题前要知道题目求的是什么，明确解题方向。而对于某些选择题，往往可以从结论入手，将结论分成互斥的类型，从而寻找到解决问题的思路。

分析与解答:从结论入手，可发现A、C选项不含0元素，B、D选项含有0元素，则将选项分为两类:A、C与B、D。

三、审方法

方法就是解题的手段、技巧，是解题的重要工具。审方法就是挖掘题目中的条件，可以利用数学公式、定理等来得到解决问题的思路。多角度、全方面地思考如何利用这些条件来解决问题，有助于提高人的思维能力。

分析与解答:

方法1(函数的性质)函数的定义域为[2，3]，由连续函数在闭区间内必有最值，且通常在端点处或极值点处取得，而，因此f(x)的值域为[1，2]。

方法2(数形结合法)由于涉及根式运算，较复杂，可考虑使用换元法。令原函数变为y=a+b，又有a2+3b2=3，即现考虑直线b=-a+y与椭圆1(a≥0，b≥0)的位置关系。(如图2)，利用数形结合思想可知:直线与椭圆第一象限有交点，故y最小在点(0，1)处取，此时y=1，y最大满足由其判别式为0，可解得y=2处取得，所以y∈[1，2]，即f(x)的值域为[1，2]。

方法3(三角代换法)由于变数3x-6与3(3-x)之和为定值，联想到三角函数的性质。因为0≤3-x≤1，令3-x=cos2α，α∈，则3x-6=3sin2α。

则f(α)∈[1，2]。