三角恒等变换的策略

华玮涵

三角是高中数学的重要内容，三角恒等变换是高考的热点，又是一种极其基础的数学工具，在高考中得到了淋漓尽致的体现。

一、三角恒等变换的策略

（一）角的变换

例1已知

思路分析：利用整体观念。

解：

（二）函数名称的变换

例2已知，求tan 2a。

思路分析：弦化切。

解：由已知得

（三）常数“1”的变换

例3 已知，求证：

思路分析：“1”巧妙用两次。

证明：将和分别代得：

①

②

③

②得 ④

④式除以③式得即

移项得

故

（四）升幂与降幂

例4 已知函数求其最小正周期T

思路分析：

解：

（五）引入辅助角 ，辅助角θ所在的象限a与b的符号确定，θ的值由 确定。

例5已知

（1）求f（x）的定义域及最小正周期。

（2）求f（x）的单调递增区间。

思路分析：化为的形式，便于研究三角函数的性质。

解：（1）由，得，则函数f（x）的定义域为。，则函数f（x）的最小正周期

（2）函数的单调递增区间为

由且，得，则函数f（x）的单调递增区间为：

二、在高考中的应用

1.（2015年高考北京理）函数f（x）

（1）求f（x）的最小正周期。

（2）求f（x）在[一π，0]上的最小值。

分析：逆用二倍角公式后添加辅助角 ，化为的形式，便于研究函数的性质。

解：（1）

故函数f（x）的最小正周期

（2）由则当，即时，f（x）取得最小值

2.（2015年高考天津理）已知函数f（x）

（1）求f（x）的最小正周期。

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值。

思路分析：熟练应用三角恒等变换公式，其策略是降幂，化为同名三角函数。

解：（1）

故f（x）的最小正周期。

（2）易得函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增。又，则f（x）在区间上的最大值为 ，最小值为

3.（2015年高考广东文）已知tana=2。

（1）求 的值。

（2）求的值。

思路分析：利用两角和的正切公式求 的值；利用二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系求的值。

解：（1）

（2）

综上所述，三角恒等变换是有规律可循的。一般的恒等变换策略有：角的变换、函数名称的变换、常数的变换、幂的变换、公式变形、结构变化等。在解题的过程中，我们要认真审题，多观察、勤思考、常总结，这样才会达到事半功倍的效果，才能在高考中取得好的成绩。