函数与方程思想的应用

任广吉

所谓函数思想，即通过建立函数关系或构造函数，利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，函数思想的精髓就是构建函数。所谓方程思想，即通过建立方程或方程组，利用解方程或方程组，或者运用力‘程的性质去分析、转化问题，使问题得解。

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过函数关系或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以转化为函数问题解决，反之，许多函数问题也可以转化为方程问题解决。函数思想和方程思想密切相关，相辅相成，为解决数学综合问题提供了思路和方法，也是高考的重点。

一、运用函数与方程相互转化的观点解决函数，方程问题

分析：本题以分段函数为背景，考查分段函数零点的求法，考查考生对分类与整合基本数学思想的掌握程度及分析问题和解决问题的能力。函数的零点也就是相应方程的解。

二、构造函数或方程解决有关问题

用运动和变化的观点，分析和研究数学问题中的数量关系，构造函数、方程，利用函数的图像和性质，或利用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获解。

分析：函数的图像直观地显示了函数的性质。在处理解不等式、判断方程是否有解和解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图像解题。

三、运用函数与方程思想解决问题

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题。

例3 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 n mile的A处，并以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向匀速行驶，直到与轮船相遇。

（1） 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2） 假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

分析：本题考查考生运用知识解决实际问题的能力、求解一元二次方程最值问题的能力，以及综合分析问题的能力。

练习：如图3，某海滨浴场的岸边可近似地看成一条直线，救生员在岸边的A处，发现海中B处（∠BAD= 45。）有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边从A跑到离B最近的D处（BD=300 m），然后游向B处。救牛员在岸边的行进速度为6 m/s，在海水中的行进速度为2 m/s。

（1） 与题中做法相比，救生员直接从A处游向B处是否可取？

（2） 能否在AD上找到一个适当的点，使得能在最短的时间内营救B处的人？