在线检测介质损耗角的矩阵束方法

董 爽 李天云 王 永 彭茂君

（1.东北电力大学输变电技术学院 吉林 132012

2.国网北京市电力公司 北京 100031）

0 引言

随着电力系统向超高压、大容量的方向发展，如何保证电气设备的安全稳定运行变得尤为重要。而电气设备（尤其是高压设备）事故大部分是由绝缘损坏引起的，因此及时有效地发现绝缘存在缺陷，对于保障电网安全运行具有重要意义[1,2]。介质损耗角（介损角）是衡量电容性电气设备绝缘水平的重要指标，其理论值很小，通常约为0.001～0.02rad，实际监测时很容易因方法本身误差及现场各种干扰因素而湮没真实值。故介损角测量的准确度与抗干扰能力[3-5]受到了国内外研究与工程领域的广泛关注。

目前，介损角测量总体上分为硬件实现和软件实现。硬件方法主要以电桥平衡法[6]和过零比较法[7]为代表。因硬件处理环节较多，累计误差较大等问题，硬件法的准确度、稳定性难以保证，抗干扰能力较差。软件方法主要以信号处理方法为主，通过硬件获取电压、电流信号，采用一种或多种信号处理方法来抑制噪声、谐波等干扰的影响，避免增加硬件电路的复杂性，较为灵活，是目前介损角测量的发展方向。相关函数法[8,9]利用电压、电流信号的自相关和互相关函数计算介损角，相关函数的计算要求积分区间为整周期，当电网频率波动时，就造成采样频率与信号频率不同步，从而使测量结果存在较大误差。高阶正弦拟合法[10,11]和正弦波参数法[12,13]均是利用最小二乘算法或三角函数正交性算法求得正弦波参数，计算出介损角。前者不能克服相位漂移、谐波含量及噪声对测量准确度的影响；后者虽考虑了噪声和谐波的干扰，但测量准确度仍受电网频率波动的限制。谐波分析法[14-16]利用离散傅里叶变换对电压、电流信号进行谐波分析计算介损角，该方法计算简单，在一定程度上克服了谐波的影响，是介损角测量的典型方法，但非同步采样会产生频谱泄漏和栅栏效应，影响介损角测量的准确度。

矩阵束算法是一种非迭代算法，运算量较小，不存在累积误差，是一种有效的阵列信号参数识别方法。本文利用矩阵束方法准确提取电容性设备的运行电压、泄漏电流信号中的基波电压和电流的初始相位，从而实现介损角的测量。该方法采用内积形式，并引入奇异值分解和矩阵的低秩近似等方法，更好地抑制了噪声干扰，同时提高了计算效率。仿真结果表明，该方法提高了介损角测量的准确度和稳定性。

1 介损角基本概念

电介质在电压或电场的作用下，会产生电导损耗和极化损耗，统称介质损耗。介质损耗将电能大部分转换为热能，使绝缘的热量积聚，温度升高，造成绝缘老化甚至熔化、焦化。电介质在交流电压作用下，等效电路及其相量关系图如图1所示。通过电介质的电流I˙可分为有功分量I˙R和无功分量C，I˙C超前于I˙的相位角δ称之为介质损耗角。由图1b所示相量图可见，δ的数字化测量可通过提取流经设备的电流、电压的基波分量、U˙的相位差φ得到

式中，iφ和uφ分别为基波电流、电压的初相位。

图1 等效电路及相量关系图Fig.1 Equivalent circuit and vector diagram

2 矩阵束算法

矩阵束算法是20世纪80年代末、90年代初由Y.Hua和T.K.Sarker提出的一种参数识别估计方法[17,18]。

设信号可以表示为M个模态的指数函数的线性组合形式，即

式中，n(t)为系统噪声；x(t)为不含噪声的信号；y(t)为实测包含噪声的信号；对第i个模态，Ri为幅值；si=-αi+ jωi，αi为衰减或阻尼因子，ωi为角频率，ωi=2πfi。式（2）的离散形式为

式中，Ts为采样间隔；k=0,1,2,…,N-1，N为最大采样点数；zi=esi Ts。

由采样序列yk(k=0,1,2,…,N-1)构造矩阵Y

式中，L为矩阵束参数，合理地选取L值可以有效抑制噪声的影响。通常，L在N/4～N/3之间取值[17]。

对矩阵Y进行奇异值分解

式中，U、V分别为(N-L)×(N-L)阶和(L+1)×(L+1)阶的正交矩阵；∑为对角阵，其对角元素σi为Y的奇异值，且按降序排列。

若测量数据不含噪声，则Y有M个非零奇异值。但在实际测量中，由于噪声的存在，矩阵∑对角元素中原来为 0者可能不再为0，若噪声相对于主导信号较弱，则其值一般较小。因此，对奇异值进行适当截取，只保留其中M个最大的奇异值，可以有效减小噪声对参数估计准确度的不良影响。通常将满足条件σ σ＞1 0-p（p为十进制的有效位数）

imax的最大下标记为最大模态数M。

在已确定最大模态数M条件下，由∑的M个主奇异值构造新阵∑′，从对矩阵Y进行奇异值分解得到矩阵V取出V中前M个主导奇异向量构成(L+1)×M的矩阵V′，并从V′中删去最后一行生成矩阵V1′，删去第一行生成矩阵V2′。

Y1、Y2可认为已经不存在噪声的影响，即

由Y1、Y2构造矩阵束21λ-YY，并将代入21λ-YY整理得

式中，I为M×M阶单位阵

式（11）中，当λ与所有的极点zi都不相等时，Y2-λY1的秩为M；当λ与某一极点zi相等时，矩阵（Z0-λI）的第i行全为0，Y2-λY1的秩降为M-1。因此，信号的极点zi（i=1,2,…,M）即为矩阵束{Y2，Y1} 的广义特征值，从而求解信号极点的问题就转化为求解式（16）的广义特征值。

式中，Y1+为Y1的伪逆矩阵。

在估计出最大模态数M和所有极点zi后，幅值Ri可通过求解下列最小二乘问题得到

求解出iz和iR后，进而可以求得信号的幅值、相位、角频率和衰减因子。

3 仿真分析

设电压、电流信号分别为

式中，U0、I0分别为电压、电流信号的直流分量；Uk、Ik分别为电压、电流信号k次谐波的幅值；θuk、θik分别为电压、电流谐波信号的初始相位；ω为角频率；nu(t)、ni(t)分别为电压、电流信号中的噪声分量。

模型阶数M的确定是矩阵束算法中的一个关键。对于一个含有未知成分的待分析信号，可采用稳定图或奇异值差值法等方法确定其有效阶数。而对于介损角的检测，采集到的信号主要成分如式（19）和式（20）所示，7次及以上谐波分量比重极小，可视为噪声。当信号不含噪声或信号的信噪比很高时，虚假模态的奇异值为零；当信号的信噪比较大时，真实模态的奇异值较大，而虚假模态的奇异值很小，且存在明显的突变。故本文取p=2，得模型阶数M=7。

仿真计算时，如无特殊说明，相关参数如下：采样频率 5kHz，采样时间 0.1s，真实介损角δ=0 .003rad，基波频率f=50.5Hz，3次、5次谐波幅值分别取基波分量的 10%和 2%。为全面地反映信号初始相角对介损角检测结果的影响，信号的初始相角在[0，2 π)之间取100个测量点。通过仿真给出了该方法在考虑电网频率波动、谐波和直流分量变化、介损角真实值不同、采样频率和采样点数变化以及噪声扰动情况下，介损角计算误差的变化情况，并与EMD-正弦波参数法[12]、随机子空间-最小二乘算法（SSI-LS）[19]进行比较。

3.1 频率波动对介损角检测的影响

信号基波频率在49.5～50.5Hz范围内取5个观测点，介损角误差随信号初始相角的变化情况如图2所示。

由图2可以看出，考虑谐波存在情况下，频率在电力系统正常波动范围内变化，信号初始相位在[0，2 π)范围内变化，介损角计算的误差绝对值均小于 1.5×10-13rad，计算准确度很高，且计算误差变化不明显。频率波动及初始相角不同对本文算法基本无影响。

3.2 谐波分量对介损角检测的影响

电力系统谐波分量中以3次、5次谐波为主，设 3次、5次谐波分量占基波分量的比值分别在0.05～0.80、0.01～0.16之间变化，依次对应递增等间隔取 16个观测点，介损角误差变化情况如图3所示。

图3 谐波分量对介损角检测的影响Fig.3 Influence of harmonic component on measurement of dielectric loss angle

由图3可以看出，当谐波分量占基波分量的比值在预设范围内变化时，介损角误差绝对值的最大值均小于2×10-13rad，误差的标准差均小于0.55×10-13rad，且波动很微小，计算准确度完全满足介损角测量的要求，且谐波分量幅值变化时，介损角计算误差变化并不明显，对本文算法基本无影响。

3.3 直流分量对介损角检测的影响

在实际的介损角测量中，电压、电流信号的采集存在着零点漂移现象，这会在信号中产生直流分量。电流信号的采集来自绝缘介质的泄漏电流，通常比较微弱，现场测试时容易受到干扰，导致电流信号发生零点漂移；而电压信号来自电压互感器，信号较强，零点漂移相对很小。为更好地反映零点漂移对本文算法计算结果的影响，电压信号中直流分量占基波分量的比值取 5%，电流信号中直流分量占基波分量的比值在 0～80%之间变化，每增加5%取一个观测点，介损角计算误差变化情况如图4所示。

图4 直流分量对介损角检测的影响Fig.4 Influence of direct bias on measurement of dielectric loss angle

由图4可以看出，电流信号中直流分量占基波分量的比值从0增加到0.8，介损角误差绝对值的最大值均小于1×10-12rad，误差变化较小，电流信号中无直流分量且直流分量占基波分量80%时，计算所得介损角误差绝对值基本相等；介损角误差的标准差均小于 2.0×10-13rad，波动很微小。直流分量幅值变化对本文算法基本无影响。

3.4 介损角真实值对检测的影响

介损角的真实值通常较小，为更好地反映介损角的真实值对本文算法准确度的影响，介损角的取值从 0.002～0.02rad，每递增 0.002rad取 1个观测点，计算误差的变化情况如图5所示。

由图5可以看出，随着介损角真实值的增大，误差绝对值的最大值均小于2×10-13rad，准确度较高，误差变化并不明显；介损角误差的标准差均小于 0.5×10-13rad，且波动很微小。介损角真实值的大小对本文算法基本无影响。

图5 介损角真实值对介损角检测的影响Fig.5 Influence of real value on measurement of dielectric loss angle

3.5 采样频率对介损角检测的影响

采样时间固定取0.1s，采样频率在1～5kHz范围内变化，每增加500Hz取一个观测点，介损角计算误差的变化情况如图6所示。

图6 采样频率对介损角检测的影响Fig.6 Influence of sampling frequency on measurement of dielectric loss angle

由图6可以看出，采样频率在预设范围内变化时，介损角误差绝对值的最大值均小于1.2×10-13rad，误差及其变化相当微小，介损角误差的标准差均小于0.4×10-13rad。采样频率为1kHz时，介损角误差绝对值都在 10-14rad数量级，已经可以获得较高的准确度。采样频率的变化对本文算法基本无影响。

3.6 采样点数对介损角检测的影响

采样频率固定取5kHz，采样点数从100点增加到1 000点，介损角计算误差的变化情况如图7所示。

图7 采样点数对介损角检测的影响Fig.7 Influence of sampling number on measurement of dielectric loss angle

由图7可以看出，采样点数为 100，即仅取一个周期内的采样值时，介损角误差绝对值都在10-14rad数量级，已能获得较高的准确度。随着采样点数的增加，介损角误差绝对值的最大值仍都小于 2.5×10-13rad，变化幅度很小；介损角误差的标准差小于 1.0×10-13rad，波动幅度很微小。采样点数的变化对本文算法的计算准确度基本无影响。

3.7 噪声对介损角检测的影响

由于待检测的设备安装位置和外界电磁干扰等因素的影响，现场采集的信号往往受到不同程度的噪声污染。考虑现场噪声的影响，信噪比在 15～40dB范围内每增加5dB取1个观测点，计算所得介损角的误差见表1。

表1 白噪声对介损角检测的影响Tab.1 Influence of white noise on measurement of dielectric loss angle（单位：10-4rad）

由表1可知，随着信噪比的增大，介损角的计算误差明显呈下降趋势。当信噪比不小于25dB时，介损角计算误差的绝对值均小于 2×10-3rad，准确度达到 10-4数量级及以上，误差的标准差均小于0.5×10-3rad，即当信噪比不小于 25dB时，本文算法的计算准确度能够满足介损角检测的精度要求；当信噪比小于 25dB时，可利用低通滤波器对原始信号进行去噪后，再用矩阵束算法进行介损角检测。

3.8 算法的计算速度

在Matlab R2012环境下编程实现矩阵束算法，计算介损角所用时间为0.066 s。可见，矩阵束算法计算速度较快，且编写程序时此法简便，易于实现。

3.9 几种方法比较

为验证矩阵束算法的有效性，本文与 EMD-正弦波参数法、随机子空间-最小二乘算法（SSI-LS）进行了比较。参数如下：真实介损角为δ=0 .008 7rad，3次、5次谐波分别取基波分量的10%和2%，采样频率为1kHz，采样时间为0.1s，基波频率为50.3Hz，电压、电流信号中直流分量分别占基波分量的10%和 50%，初相角在 0～π/2之间取 100个点，信噪比为30dB。检测结果列于表2，δmean、δmean-δ分别表示计算所得介损角的平均值及误差，Δδmax、Δδmin分别表示介损角误差的最大值、最小值。

表2 三种方法的介损角检测结果Tab.2 Results of three detection methods（单位：10-4rad）

由表2可见，三种方法所计算的介损角平均值的误差均小于 0.002rad，能够满足介损角的测量准确度，而本文算法的计算精度明显高于其他两种方法。

4 结论

（1）矩阵束算法是一种高准确度的信号参数提取方法，本文将其应用到介损角的检测中，可直接提取基波电压、电流信号的初始相位，不需要与其他方法配合，且仅需要一个或几个周期内的采样值。

（2）电网频率波动、信号的初始相位不同、谐波分量和直流分量变化、介损角真实值大小、信号的采样频率和采样点数变化对矩阵束检测方法基本没有影响。当采样信号信噪比不小于 25dB时，计算结果完全满足介损角的检测准确度要求，不需要对采样信号进行消噪处理；当采样信号信噪比小于25dB时，可利用低通滤波器对采样信号进行简单预处理，再用矩阵束算法进行检测。

（3）该方法具有检测准确度高、稳定性好、速度快、抗噪性能强和简单易实现的优点，为高压电容性电气设备介损角在线检测提供了一种新的思路。

[1]Natarajian S.Measurement of capacitances and their loss factors[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,1989,38(6): 1083-1087.

[2]Wang P,Raghuveer M R,McDermid W,et al.A digital technique for the online measurement of dissipation factor and capacitance[J].IEEE Transactions on Dielectric Electrical Insulation,2001,8(2):228-232.

[3]李涛,杜晓平,陈瑞林.电容型电流互感器现场试验 tanδ值异常的分析及解决方法[J].电力系统保护与控制,2009,37(20): 120-122.

Li Tao,Du Xiaoping,Chen Ruilin.Solution to abnormal tanδvalue problem in field test of capacitive current transformer[J].Power System Protection and Control,2009,37(20): 120-122.

[4]王笑棠,李笑倩,金贵,等.一种变频测量电流互感器介损的方法[J].电力系统保护与控制,2010,38(5): 68-72.

Wang Xiaotang,Li Xiaoqian,Jin Gui,et al.A method of measuring dielectric loss of current transformer by changing frequency[J].Power System Protection and Control,2010,38(5): 68-72.

[5]李涛,杜晓平,刘焕光.电容式电压互感器自激法的测试及误差分析[J].电力系统保护与控制,2009,37(5): 31-33.

Li Tao,Du Xiaoping,Liu Huanguang.Discussion about self-excited method error on capacitive voltage transformer[J].Power System Protection and Control,2009,37(5): 31-33.

[6]陈天翔,张保会,陈天涛,等.基于电桥平衡原理的高准确度 tanδ在线测量[J].高电压技术,2005,31(1): 42-44.

Chen Tianxiang,Zhang Baohui,Chen Tiantao,et al.Research on a new monitoring method of tanδwith low cost and high precision[J].High Voltage Engineering,2005,31(1): 42-44.

[7]蔡国雄,甄为红,杨晓洪,等.测量介质损耗的数字化过零点电压比较法[J].电网技术,2002,26(7):15-18.

Cai Guoxiong,Zhen Weihong,Yang Xiaohong,et al.A digitized zero cross point voltage method of comparison for measurement of dielectric losses[J].Power System Technology,2002,26(7): 15-18.

[8]丁晖,申忠如,刘君华.基于小波和相关分析的虚拟介损在线检测仪[J].高电压技术,2000,26(4):17-19.

Ding Hui,Shen Zhongru,Liu Junhua.On line measurement of dielectric loss tangent for capacitivetype equipment[J].High Voltage Engineering,2000,26(4): 17-19.

[9]黄晶,颜运昌,胡林.基于小波和改进相关分析的介损测量方法[J].电力系统自动化,2006,30(7):51-54.

Huang Jing,Yan Yunchang,Hu Lin.Dielectric loss measuring based on wavlet analysis and improved correlation function[J].Automation of Electric Power Systems,2006,30(7): 51-54.

[10]王微乐,李福棋,谈克雄.测量介质损耗角的高阶正弦拟合算法[J].清华大学学报(自然科学版),2001,41(9): 5-8.

Wang Weile,Li Fuqi,Tan Kexiong.Higher-order sine fitting algorithm for dielectric loss measurement[J].Journal of Tsinghua University (Science &Technology),2001,41(9): 5-8.

[11]袁旭龙,冯小华.改进保留非线性算法在介损测量应用中的研究[J].高电压技术,2005,31(3): 39-40.

Yuan Xulong,Feng Xiaohua.Research of the improved method of nolinear reserved arithmetic applied in the measurement of dielectric loss[J].High Voltage Engineering,2005,31(3): 39-40.

[12]李天云,王静,郭跃霞,等.基于经验模态分解和正弦波参数法的介损角测量算法[J].电网技术,2007,31(24): 77-80.

Li Tianyun,Wang Jing,Guo Yuexia,et al.Dielectric loss angle measuring algorithm based on Empirical mode decomposition and sine wave parameter method[J].Power System Technology,2007,31(24): 77-80.

[13]李天云,袁明哲,彭文.EMD在变压器介质损耗角检测中的应用[J].中国电力,2011,44(2): 23-26.

Li Tianyun,Yuan Mingzhe,Peng Wen.Measurement of the dielectric loss angle of a transformer by EMD[J].Electric Power,2011,44(2): 23-26.

[14]尚勇,杨敏中,王晓蓉,等.谐波分析法介质损耗因数测量的误差分析[J].电工技术学报,2002,17(3): 67-71,34.

Shang Yong,Yang Minzhong,Wang Xiaorong,et al.Error analysis for the dielectric loss factor measurement based on harmonic analysis[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2002,17(3): 67-71,34.

[15]张介秋,梁昌洪,韩峰岩,等.介质损耗因数的卷积窗加权算法[J].电工技术学报,2005,20(3): 100-104.

Zhang Jieqiu,Liang Changhong,Han Fengyan,et al.Convolution window weighted algorithm for dielectric loss factor[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2005,20(3): 100-104.

[16]温和,滕召胜,曾博,等.基于三角自卷积窗的介损角测量算法及应用[J].电工技术学报,2010,25(7): 192-198.

Wen He,Teng Zhaosheng,Zeng Bo,et al.Dielectric loss angle measurement algorithm and application based on triangular self-convolution window[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2010,25(7): 192-198.

[17]Hua Yingbo,Sarkar T K.On SVD for estimating generalized eigen values of singular matrix pencil in noise[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1991,39(4): 892-900.

[18]王宇静,于继来.电力系统振荡模态的矩阵束辨识法[J].中国电机工程学报,2007,27(19): 12-17.

Wang Yujing,Yu Jilai.Matrix pencil method of oscillation modes identification in power systems[J].Proceedings of the CSEE,2007,27(19): 12-17.

[19]李天云,袁明哲,蔡国伟,等.基于随机子空间和最小二乘的介质损耗角检测方法[J].高电压技术,2011,37(4): 828-832.

Li Tianyun,Yuan Mingzhe,Cai Guowei,et al.Measurement algorithm of dielectric loss angle based on SSI-LS[J].High Voltage Engineering,2011,37(4):828-832.