快速分析非均匀介质体宽带散射特性的算法

赵 博,龚书喜,王 兴,董海林

(西安电子科技大学天线与微波技术重点实验室,陕西西安 710071)

快速分析非均匀介质体宽带散射特性的算法

赵 博,龚书喜,王 兴,董海林

(西安电子科技大学天线与微波技术重点实验室,陕西西安 710071)

应用渐近波形估计技术,快速分析了基于体积分方程的任意非均匀介质体的宽带电磁散射特性.对于任意非均匀介质体的散射分析,需要考虑介质分界面两侧体电流的法向不连续性,采用体积分方程并对电通量密度进行SWG基函数展开,很好地解决了这个问题.而对于非均匀介质体的宽带散射分析,逐个频点计算雷达散射截面是非常耗时的,文中首先采用渐近波形估计技术,推导和计算阻抗矩阵和激励矢量的高阶导数,然后在给定频点对电通量密度进行展开,用padé逼近进一步展开带宽,可以快速预估频带内任意频点的电通量密度,进而获得非均匀介质体的宽带散射特性,大大减少了计算时间.最后通过数值算例验证了该方法的准确性与高效性.

体积分方程;渐近波形估计;宽带散射

现代电子科学技术的发展,对宽频带系统性能的要求越来越高.非均匀介质体的宽带电磁散射在目标识别、复杂环境的波传播和资源探测等方面具有重要意义.在电磁计算中,矩量法(Method of Moment, Mo M)[1-3]作为一种对积分方程的精确分析方法,对介质体的计算通常采用PMCHWT[4]方程或体积分方程(Volume Integral Equation,VIE)[5-6]来描述.然而,PMCHWT方程通常用来计算均匀介质体的散射,对于非均匀介质体需要处理在不同介质分界面处的复杂边界条件,并且随着非均匀程度的增加,关于边界条件的处理也更加复杂[7].而采用体积分方程则可以很好地解决关于复杂边界条件处理的问题.该算法对任意非均匀介质体进行四面体元剖分(也可以用曲面四面体元,六面体元或者曲面六面体元),可以充分采集其内部的非均匀信息,同时很好地拟合其物理结构,此外,用SWG基函数能够很好地模拟四面体元内的电通量密度的密度,使得计算结果可以达到很高的精度.

然而,对于非均匀介质体的宽带散射计算,需要在给定频段的不同频点进行重复计算,这不仅需要重复填充阻抗矩阵,还需要重复求解线性方程组,使得整个分析过程非常的耗时.从20世纪80年代末以来,基于梅利逼近[8-10]、渐近波形估计(Asymptotic Waveform Evaluation,AWE)[11-14]和柯西逼近[15]等的快速扫频技术得到了深入研究和广泛应用.上述方法中,AWE因易于与积分方程的数值方法相结合,在电磁领域越来越受到重视.笔者将其与VIE结合来分析任意非均匀介质体的宽带散射特性,在给定的频点对电通量密度进行泰勒展开,然后通过padé逼近得到任意频点的电通量密度,从而实现快速宽带散射特性分析.在保证计算精度的前提下,相比于VIE逐点计算,该方法大大提高了计算效率.

1 理论分析

1.1 体积分方程矩量法(VIE-MoM)

考虑自由空间中一个三维任意非均匀介质体在平面波Ei照射下,其所在区域感应出的电通量密度产生散射场Es.目标的体积为V,表面积为S,介电常数ε(r)=ε0εr(r),磁导率为μ0.文中的时间因子均采用exp(-jωt).

VIE可以表示为

其中,Etot和Es代表总电场和散射场,

其中,

其中,r和r′分别为场点和源点,Jv(r′)和ρv(r′)分别为体电流密度和体电荷密度,根据电流连续性公式可以将两者联系起来,

因为在非均匀介质体的介质分界面两侧,电通量密度之密度Jv(r)法向分量并不连续,而电通量密度D(r)法向分量在介质分界面两侧相等,为方便起见,一般采用电通量密度作为体积分方程的未知量,

将式(2)～(7)代入式(1)中,可得

其中,∇′· (κ(r′)D(r′))根据矢量恒等式得

其中,

式(9)中等号右边第2项涉及非均匀介质分界面两侧的介电常数,正是因此使得VIE对于非均匀介质体的分析不需要处理复杂的边界条件.

在三维理想导体的数值计算中,一般采用RWG基函数[16]来展开电场积分方程的未知量.与此类似,文中采用SWG基函数fn(r)[5]来展开体积分方程的未知量D(r),即为

SWG基函数的表达式为

N为未知量D(r)的维数.用伽略金法检验式(8),可得到矩阵方程,即

其中,Z为N×N维的阻抗矩阵,V为N维的激励矢量,D为待求解的N维电通量密度矢量.阻抗矩阵Z和激励矢量V的元素表达式为

其中,fm和fn分别代表检验函数和基函数,Tm和Tn是第m个和第n个基函数对应的四面体元对,Sn为第n个基函数中两个四面体的公共面,R是场点和源点之间的距离.

1.2 渐近波形估计

利用矩量法求解体积分方程,通过四面体元剖分非均匀介质体所在区域,未知电通量密度矢量D(k)用SWG基函数fn(r)展开,得到矩阵方程如式(13)所示,不难发现Z、V和D均为波数k的函数,k表示频点f对应的波数,因此式(13)可以写为

为了得到一定频域内的宽带散射特性,必须重复求解式(16),这将耗费大量的时间.而应用AWE技术实现快速扫频则很好地解决了这个问题.AWE将未知电通量密度D(k)在给定中心频率f0展开成泰勒级数

其中,k0表示频点f0对应的波数,mq表示未知量的系数,Q表示泰勒级数的截断阶数.在求解Q+1个未知量系数mq(q=0,1,2,…,Q)时,根据以下递推式:

其中,V(q)(k0)是激励矢量V(k)关于波数k在k0点的q阶导数,Z(i)(k0)是阻抗矩阵Z(k)关于波数k在k0点的i阶导数,它们的元素表达式为

其中,

其中,Ei,(q)(r)是入射电场关于k在k0点的q阶导数,和分别是GA(r,r′)和Gφ(r,r′)关于k在k0点的i阶导数.

由于未知电通量密度的泰勒展开会受到带宽的限制,为了展宽带宽,应用padé逼近将泰勒级数转化为有理函数,即

其中,L+M=Q.式(25)中对比等号两边(k-k0)q的系数,bn,j可以由式(26)求得

进一步根据式(27),可以计算得到

确定了an,i和bn,j之后,将其带入式(25),得到一定频域内任意频点的电通量密度,进而得到非均匀介质体的宽带雷达散射截面(Radar Cross-Section,RCS).

2 数值结果与分析

为了验证VIE-AWE算法在任意非均匀介质体宽带散射计算中的准确性与高效性,这里给出3个算例的数值结果,所有算例均在主频2.4 GHz、内存4 GB的个人电脑上完成,数据类型都采用双精度类型存储.由于算例涉及逐点计算非常耗时,为方便起见,求解线性方程组采用MKL库函数中的并行LU分解法.

算例1计算图1所示的3层非均匀介质球在1～19 GHz的宽带单站RCS.目标的物理尺寸R1=1.5 mm,R2=2.5 m m,R3=3.5 mm,对应的相对介电常数分别为ε1=7.0,ε2=4.0,ε3=9.0.

图1 非均匀介质球的剖面图

图2 非均匀介质球的宽带单站RCS

在频点10 GHz处对目标进行剖分,得到820个四面体元,形成1 742个未知量.图2对比了用仿真软件FEKO、逐点法和AWE扫频算法得到的宽带RCS.FEKO的计算结果与逐点法相比较,可以看出VIE计算的准确性.在给定频点10 GHz处,用AWE对电通量密度进行Q阶(Q=8,6,4,2)泰勒展开,以逐点法为标准,AWE结果与之吻合的带宽分别为:当Q=8时,为1.0～17.01 GHz;当Q=6时,为1.97～15.75 GHz;当Q=4时,为2.57～13.41 GHz;当Q=2时,为1.00～12.57 GHz.可以看出,在保证结果精确的前提下,随着AWE阶数的增加,带宽趋于更宽.逐点法计算频带宽度为1～17.01 GHz的RCS,频率间隔的步长取0.1 GHz需要7 728.65 s,AWE取Q=8计算同样带宽和步长的RCS需要440.72 s,计算时间减少了94.30%.因此,在保证精度的前提下,应用AWE结合VIE算法可以大幅度减少计算时间.表1给出了AWE取不同阶数Q时的计算特性对比.

表1 AWE取不同阶数Q时的计算特性

图3 非均匀介质长方体的物理结构

算例2计算了图3所示的非均匀介质长方体在平面波照射下2～42 GHz的宽频带单站RCS.入射波沿θ=45°、φ=0°方向入射.目标由7个同样的小长方体无间隙地排列在一起,每个小长方体的大小L=2 mm、H=0.5 mm,相对介电常数ε1=2.0和ε2=4.0.在频点20 GHz对目标进行剖分,得到1 704个四面体,形成未知量个数为3996.图4同样对比了FEKO仿真软件、逐点法和AWE扫频算法计算的宽带RCS.对比FEKO和逐点法计算结果,证明了VIE计算的精确性.AWE在20 GHz对电通量密度进行泰勒展开,展开阶数分别取Q=8,6,4,2.以逐点法为参考标准,AWE的计算结果与之吻合的带宽分别为:当Q=8和6时,为2.0～42.0 GHz;当Q=4时,为2.0～32.49 GHz;当Q=2时,为13.32～26.07 GHz.可以看出,随着AWE阶数的增加,带宽趋于更宽.随着阶数Q的增长,计算结果逐渐收敛.采用逐点法计算2.0～42.0 GHz带宽的RCS,步长取0.2 GHz需要44 823.54 s.应用AWE计算同样带宽和步长间隔的RCS,当Q=8和Q=6时,需要的时间分别为2 224.51 s和1 739.7 s,计算时间分别减少了95.04%和96.12%.由此证明了AWE结合VIE算法的准确性和高效性.表2给出了AWE取不同阶数Q时的计算特性对比.

图4 非均匀介质长方体的宽带单站RCS

表2 AWE取不同阶数Q时的计算特性

3 结束语

结合VIE和AWE分析了任意非均匀介质体的宽带散射特性.对于介质体的非均匀结构,VIE采用四面体元进行剖分可以获取介质体内部的非均匀信息,并通过Mo M进行了精确的计算.对于宽带散射特性的计算,必须在带宽内各频点重复计算,为了提高计算效率,笔者结合AWE大大减少了所需时间.通过算例分析,验证了VIE-AWE在非均匀介质体情况下计算的准确性与高效性.

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(编辑:王 瑞)

Fast analysis of wide-band scattering properties of inhomogeneous dielectric bodies

ZHAO Bo,GONG Shuxi,WANG Xing,DONG Hailin
(Science and Technology on Antenna and Microwave Lab.,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

The asymptotic waveform evaluation(AWE)based on the volume integral equation(VIE)is applied to accelerate wide-band electromagnetic scattering properties of arbitrarily shaped inhomogeneous dielectric bodies.For the analysis over a single frequency,the discontinuity of the normal component of the volume current on both sides of the medium interface should be considered.Nevertheless,the problem can be solved well by adoption of VIE and expansion of the electric flux density with SWG basis functions. However,the wide-band analysis requires repeated radar cross section(RCS)calculations over different frequencies,which takes excessively much time.To acquire the prediction of wide-band RCS rapidly,in this paper,AWE greatly reduces the computation time by deducing and computing the high derivatives of the impedance matrix and excitation vector,expanding the electric flux density with the Taylor series and further broadening the bandwidth using padéapproximation.Finally,numerical examples are displayed to demonstrate the accuracy and efficiency of this method.

volume integral equation;asymptotic waveform evaluation;wide-band scattering

O441.6;TN011

A

1001-2400(2015)05-0080-06

2014-09-30< class="emphasis_bold">网络出版时间:

时间:2014-12-23

国家高技术研究发展计划(863计划)资助项目(2012AA01A308);国家自然科学基金资助项目(61301069,61072019);教育部新世纪优秀人才支持计划资助项目(NCET-13-0949);陕西省青年科技新星资助项目(2013KJXX-67);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(JB140224)

赵 博(1987-),男,西安电子科技大学博士研究生,E-mail:m15991342657@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20141223.0946.014.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2015.05.014