修正的广义Vakhnenko方程的周期解

聂显佳，张岩，扎其劳

(内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特　010022)

修正的广义Vakhnenko方程的周期解

聂显佳，张岩，扎其劳

(内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特010022)

利用Hirota双线性方法以及Rienmann theta函数，构造了含两个任意常系数的修正的广义Vakhnenko方程的周期解.特别是在极限情况下，可以由方程的周期解得到其孤子解.

周期解；Rienmann theta函数；修正的广义Vakhnenko方程

1　引言

近年来许多学者利用Hirota双线性方法和Rienmann theta函数来求解非线性演化方程，特别是孤子方程的周期解.Rienmann theta函数最初是由德国数学家Rienmann在研究普通函数时，将函数概念推广到多值函数并引进了多叶Rienmann曲面的直观概念中提取出来的. Theta函数是多复变特殊函数的一种，具有很好的拟周期性.到了70年代，文献[1-2]在双线性方法的基础上，结合Rienmann theta函数求得了一系列孤子方程的周期解，且得到的多周期解取极限形式可以退化到孤子，不需要通过散射理论而直接求得方程的显示解，因此也被称为直接法，该方法主要是通过引入双线性D算子来实现的，从而可以将非线性演化方程化为相应的双线性方程.一旦双线性方程被确定，求其精确解的过程就变得简单.这种方法直接有效而且周期解中的所有参数都是可以任意选取的.从方程的周期解出发，可以清晰的描述和分析出影响非线性方程随时间运动的几个重要参数之间的关系：例如振幅、波速以及运动方向之间的关系.所以研究周期解对非线性方程具有很好的价值.本文利用Hirota双线性方法[3]以及Rienmann theta函数，研究修正的广义Vakhnenko方程(mGVE)(见文献[4])的周期解.

修正的广义Vakhnenko方程以及广义Vakhnenko方程(GVE)(见文献[5])是Vakhnenko方程(VE)(见文献[6])的扩展形式，mGVE的形式为：

其中α和β是任意常数.当α=1时，方程(1)简化为GVE；当α=1，β=0时，方程(1)简化为VE.关于方程VE、GVE和mGVE的多孤子解已有许多研究结果[4-10].

2　mGVE的变换

根据文献[3-9]，引入独立变量X和T，定义为：

3　mGVE的周期解

由以上的分析，考虑双线性方程(7)的多维Rienmann theta函数解：

其中n=(n1，···，nN)T∈ZN，η=(η1，···，ηN)，〈·，·〉是两个向量的内积，τ是一个对称矩阵且 Im|τ|＞0，ηj=kjX+ωjT+η(0)j，j=1，···，N.

现在，将给出方程(1)的1-周期解和2-周期解.

3.1 1-周期解及渐进性

3.22-周期解及渐进性

现在考虑mGVE的2-周期解，当N=2时，方程(16)可以化为：

那么线性系统(41)有唯一的非零解(ω1，ω2，c).求解此系统，可以得到方程(7)的2-周期解：其中F和ω1，ω2，c分别满足(35)式和(41)式，这里k=(k1，k2)是由(42)式决定的.然后通过方程(9)，将得到U，所以 mGVE的2-周期解可以由(12)式和(13)式及W 和U给出.图2-图3给出了满足相应的参数条件时相应方程的2-周期解的图像.

图2　mGVE方程的2-周期解，参数选为：α=6，β=2，k1=2，k2=−2，τ11=2.4i，τ12=1.2i，τ22=3i

图3　mGVE方程的2-周期解，参数选为：α=6，β=2，k1=2，k2=−2，τ11=2.8i，τ12=1.4i，τ22=i.

其证明与公式(34)的证明类似.然后通过方程(5)，将得到U，所以mGVE的2-孤子解可以由(12)式和(13)式及W 和U给出.

4　结论

众所周知，Hirota双线性方法是构造非线性波方程显式解的最有效方法之一.本文首先利用Hirota双线性方法和一组变换给出mGVE的N孤立子解，然后利用Riemann theta函数构建了它的周期解.所用的方法具有普遍意义，利用它也可以得到其它非线性演化方程的周期解.在极限情况下，可以退化为孤子解.

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[2]Nakamura A.A direct method of caculating periodic wave solutions to nonlinear evolution equations. II.exact one-and two-periodic wave solution of the coupled bilinear equations[J].J.Phys.soc.Jpn.，1980，48：1365-1370.

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[5]Vakhnenko V O，Parkes E J.Morrison，Bäcklund transformation and the inverse scattering transform method for the generalized Vakhnenko equation[J].Chaos Solitons Fractals，2003，17：683-692.

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[10]Li B，Ma Y，Sun J.The interaction process of the N-soliton solution for an extand generalization of Vakhnenko equation[J].Appl.Math.Comput.，2010，216：3522-3535.

Periodic wave solutions for the modified generalized Vakhnenko equation

Nie Xianjia，Zhang Yan，Zha Qilao
(College of Mathematics Science，Inner Mongolia Normal University，Huhhot010022，China)

The new periodic wave solution for the modified generalized Vakhnenko equation is presented by using Hirota method and Rienmann theta function，from which the soliton solution can be obtain via an appropriate limited procedure.

periodic solution，Rienmann theta function，modified generalized Vakhnenko equation

O175.2

A

1008-5513(2015)01-0043-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.01.006

2014-11-10.

国家自然科学基金(11261037)；内蒙古自治区“草原英才”培养项目(CYYC2011050)；内蒙古自治区高等学校“青年科技英才支持计划”青年科技领军人才项目(2014MS0111)；内蒙古自治区自然科学基金(2014MS0111)；内蒙古自治区人才开发基金.

聂显佳(1989-)，硕士生，研究方向：非线性数学物理与符号计算.

扎其劳(1971-)，博士，教授，研究方向：孤立子理论和可积系统理论.

2010 MSC:35J15