可交换投影矩阵的刻画

周家华， 张雯婷，2， 徐小明

（1.上海应用技术学院理学院，上海 201418；2.中国石油长庆油田第一采油厂，延安 716009）

可交换投影矩阵的刻画

周家华1， 张雯婷1，2， 徐小明1

（1.上海应用技术学院理学院，上海 201418；2.中国石油长庆油田第一采油厂，延安 716009）

设U和V是有限维Hilbert空间X的2个子空间，PU和PV分别表示从X到U和V上的正交投影矩阵.在一定的条件下，给出了PU和PV在空间分解X=U⊕U⊥下的分块矩阵表示.利用此结果和矩阵分块的技巧，研究了2个正交投影矩阵可以交换的充要条件.

正交投影矩阵；分块矩阵；交换矩阵

设U和V是有限维Hilbert空间X的2个子空间，B（U，V）表示从U到V的全体线性变换构成的集合，将B（U，U）简记为B（U）.众所周知，如果dim（U）=m且dim（V）=n，则B（U，V）在同构意义下可理解为全体n×m阶矩阵构成的集合.任给T∈B（U，V），分别记T*，λ（T），N（T）和R（T）为矩阵T的共轭转置、特征值、零空间和值域.若T是U上的一个半正定矩阵，用表示T的平方根.

定义1 设U和V是有限维Hilbert空间X的 2个子空间.如果则称U和V是互不相容的2个子空间.

定义2［1］设A是一个n×n阶的矩阵.若A2= A，则称A是一个幂等矩阵；若A2=A且A*=A，则称A是一个正交投影矩阵.

设PU和PV分别表示从X到U和V上的正交投影矩阵.如果PUPV=PVPU，则称PU和PV可以交换.一般情况下，PU和PV不可以交换.

例1 设X=C2.令则易验证PU和PV是X上的2个正交投影矩阵，且PUPV≠PVPU.

许多学者已对矩阵的可交换性进行了深入研究［2-9］.本文在空间分解X=U⊕U⊥下，给出了PU和PV的分块矩阵表示.利用此结果和矩阵分块的技巧，研究了正交投影矩阵可以交换的充要条件.

1 主要结果和证明

引理1［10］设U和V是有限维Hilbert空间X的2个子空间，且X=U⊕V.设A11∈B（U），A12∈B（V，U），A21∈B（U，V），A22∈B（V），则矩阵

是X上的半正定矩阵当且仅当下列命题同时成立：

（1）A11和A22分别是U和V上的半正定矩阵；

定理1 设U和V是有限维Hilbert空间X的2个互不相容子空间.则在空间分解X=U⊕U⊥下，PU和PV分别具有如下的分块矩阵形式：

式中，IU表示子空间U上的恒等矩阵；x为U上的压缩半正定矩阵且0，1ελ（x）；D是从U⊥到U的酉矩阵.

证明 根据引理1，PU和PV在空间分解X= U⊕U⊥上分别具有的分块矩阵形式为

其中，x和z分别是U和U⊥上的半正定压缩矩阵；D是从U⊥到U上的压缩矩阵.

比较式（3）等号两边，有

即

因为U和V是互不相容的子空间，所以易验证0，1ελ（x），即x和IU-x都是可逆矩阵.进而根据式（4），有

因此，在空间分解X=U⊕U⊥上，正交投影矩阵PV具有分块矩阵形式：

证毕.

推论1 设X是一个有限维非零Hilbert空间，U和V是X的2个互不相容子空间，则PUPV≠PVPU.

证明 因U和V是互不相容的子空间，故根据定理1，PU和PV在空间分解X=U⊕U⊥下分别具有如下分块矩阵形式：

其中，x为U上的压缩半正定矩阵且0，1ελ（x），D是从U⊥到U的酉矩阵.注意到X≠｛0｝，故x≠0.直接计算可得

假设PUPV=PVPU，则

比较式（5）等号两边，有

因D是从U⊥到U的酉矩阵，故矛盾.故假设不真，即PVPU.证毕.

根据推论1，如果U和V是互不相容的非零子空间，则PU和PV一定不可交换.2个正交投影矩阵的可交换性将在更加一般的情况下讨论.

设U和V是有限维Hilbert空间X的2个子空间，分别记根据定理1， PU和PV在空间分解下分别具有分块矩阵形式：

式中，I表示相应子空间上的恒等矩阵.

定理2 设PU和PV分别具有式（6）、（7）分块矩阵形式，则PUPV=PVPU当且仅当H5=H6=｛0｝.

证明 充分性. 假设H5=H6=｛0｝，则在空间分解X=⊕4i=1Hi下，PU和PV分别具有分块矩阵形式：

易验证PUPV=PVPU.

必要性. 根据式（6）、（7）中PU和PV的分块矩阵形，有：

假设PUPV=PVPU，则

比较式（8）等号两边，可得

根据推论1及其证明，H5=H6=｛0｝.证毕.

推论2［2］设PU和PV是有限维Hilbert空间X的2个正交投影矩阵，则下列命题等价：

（1）PUPV=PVPU；

（2）λ（PUPV）｛0，1｝；

（3）R（PUPV）=R（PVPU）.

证明 （1）→（3）显然成立.假设PU和PV分别具有分块矩阵形式（6）和（7），下面分别证明（1）→（2），（2）→（1）和（3）→（1）.

（1）→（2） 令PUPV=PVPU.根据定理2，H5= H6=｛0｝.此时

故λ（PUPV）=λ（PVPU）｛0，1｝.

（2）→（1） 令λ（PUPV）｛0，1｝.假设H5≠｛0｝且H6≠｛0｝，则

（3）→（1） 令R（PUPV）=R（PVPU）.因

注意到，0，1ελ（x）且D是从H6到H5上的酉矩阵，蕴含x=0，即H5=H6=｛0｝.根据定理2，PUPV=PVPU.证毕.

2 结 语

本文首先考虑了有限维Hilbert空间X到2个子空间U和V上的正交投影矩阵PU和PV的分块矩阵形式，给出了PU和PV在空间分解X=U⊕U⊥下的分块矩阵表示.进而研究了2个正交投影矩阵可交换的充要条件，证明了PU和PV可交换当且仅当都为零空间.利用此结果，本文还给出了PU和PV可交换的等价性质，即，或R

［1］ 北京大学数学系.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，1988.

［2］ 陈东君，张云.关于正交投影矩阵可交换性的相关研究［J］.淮北煤炭师范学院学报，2008，29（1）：31-33.

［3］ 金辉.矩阵可交换的充要条件［J］.沈阳师范大学学报（自然科学版），2005，23（1）：24-26.

［4］ 林建富，杜翠真.矩阵可交换的充要条件［J］.吉林师范学院学报（自然科学版），2012（4）：62-64.

［5］ 刘美喜，刘军.可交换矩阵的一些性质［J］.数学教学研究，2009，28（3）：52-54.

［6］ 钱微微，蔡耀志.论矩阵可交换的充要条件［J］.大学数学，2007，23（5）：143-146.［7］ Guo S L，Irene M，Han L N，et al.Commuting matrices，equilibrium points for control systems with single saturated input［J］.Applied Mathematics and Computation，2015，259：987-1002.

［8］ Kösal H H，Tosun M.Commutative quaternion matrices［J］.Advances in Applied Clifford Algebras，2014，24（3）：769-779.

［9］ Trench W F.Characterization and properties of（R，Sσ）-commutative matrices［J］.Linear Algebra and Its Applications，2012，436（11）：4261-4278.

［10］ Du H K.Operator matrix forms of positive operator matrices［J］.Chinese Quart J Math，1992，7：9-11.

（编辑 吕丹）

Characterization of Commutative Projection Matrices

ZHOU Jiahua1， ZHANG Wenting1，2， XU Xiaoming1
（1.School of Sciences，Shanghai Institute of Technology，Shanghai 201418，China；2.No.1 Production Factory of Petrochina Changqing Oilfield Company，Yan’an 716009，Shanxi，China）

Let U and V be subspaces of a finite dimensional Hilbert space X，PUand PVbe orthogonal projection matrices of X onto U and V，respectively.Under certain condition，the blocked matrices of PUand PVon the space decompositionwere presented respectively.Using this and the technique of matrix block，the necessary and sufficient conditions under which PUand PVare commutative were studied.

orthogonal projection matrix；blocked matrix；commutative matrices

O 177.1

A

1671-7333（2015）04-0393-04

10.3969／j.issn.1671-7333.2015.04.017

2015-01-13

上海市高校青年教师培养基金资助项目（ZZyyy12021）；上海应用技术学院引进人才基金资助项目（YJ2012-21）

周家华（1964-），男，讲师，主要研究方向为矩阵理论.E-mail：86006582＠qq.com

徐小明（1983-），男，讲师，博士，主要研究方向为泛函分析与算子代数.E-mail：xuxiaoming2620＠aliyun.com