考虑散体桩变形时复合地基径竖向固结解析解

张绍勇，许 波

(1.浙江省地球物理地球化学勘查院，浙江杭州 310005;2.香港华艺设计顾问(深圳)有限公司南京分公司，江苏南京 210037)

传统的砂井地基轴对称固结解析解答最早起源于Barron 固结［1］，且发展至竖井热固结理论［2］，至今解答已甚成熟。现有复合地基固结理论继承和发展了砂井固结理论成果［3～11］。与传统砂井固结理论不同的是，复合地基固结存在“应力集中”，即应力会传向压缩性较小的桩体，使得复合地基应力重分布。Yoshikuni［3］最早提出了该现象，并把成果运用到工程实践中。谢康和［4］根据复合地基受力特点，考虑桩体、涂抹区和地基土在刚度和透水性存在差异，提出了考虑了桩体和地基土径竖向组合渗流下的复合地基固结解;王瑞春［5］考虑复合地基“应力集中”效应及施工扰动，给出了双层材料散体桩复合地基固结解;Han［6］认为初始时刻桩内孔压可能小于土体内孔压，传统砂井地基固结的初始条件不满足复合地基固结问题，因此给出了可考虑应力集中效应下复合地基径向固结解;Xie［7］和卢萌盟［8～9］根据桩土共同作用的特点，认为现有的解答采用传统砂井地基井土交界面流量连续假定与复合地基等应变假定相矛盾，因此他们抛弃该假定，并引入新的初始条件，给出了可考虑渗透系数变化以及附加应力梯形分布下复合地基固结解;张玉国［10］提出了变荷载作用下复合地基固结一般解，丰富和完善了现有复合地基固结理论，赵明华［11］抛弃了砂井地基井土界面流量连续假定，根据复合地基受力特点引入“平均超孔隙水压力”概念，提出了考虑桩体固结变形下复合地基固结解，但该解答未考虑涂抹效应。

表1 现有复合地基固结解析解答中考虑的因素Table 1 Factors considered in the existing analytical solutions for the composite foundation consolidation

表1给出了现有复合地基固结解答中所考虑的因素，现有复合地基固结解的偏微分方程采用与Carrillo［12］类似但相逆的方法得到的一种近似径竖向固结微分方程［13］。文献［13］指出Carrillo方法对于瞬时加载工况下地基附加应力沿深度均匀分布情况是适用的，而对于地基附加应力随时间变化以及沿深度变化时，固结微分方程是非齐次的，Carrillo方法得到的计算结果虽然误差不算太大，但在理论上却并不适用。基于文献［4～11］提出的近似径竖向固结微分方程的解答，在理论上是不完备的，本文在前人的研究基础上，针对复合地基“应力集中”现象，根据桩土共同作用原理，在计算地基固结度时同时考虑桩体固结和地基固结，以与等应变假定相符;另外，抛弃传统砂井轴对称固结中井土界面流量连续假定，并引入新的初始条件，考虑涂抹、桩体和土体径竖向同时固结，以及附加应力沿深度任意分布，建立一种推求径竖向同时固结解答的求解方法。通过本文解答拟解决三个问题:第一，当散体桩桩径比在多少范围内，桩体径向固结可不考虑;第二，当桩长与堆载区宽度比值相对较高，不同的平均附加应力分布形式对复合地基影响程度;第三，评价置换率和涂抹参数kh/ksh对复合地基影响程度。

1 计算模型及推导假定

计算模型如图1所示。图1中，r和z分别表示极坐标系中径向和竖向坐标;rc、rs和re分别表示桩的半径、涂抹区半径以及单桩影响区域有效半径，kh和kv分别表示未扰动区土体径向和竖向渗透系数;ksh表示涂抹区土体的径向渗透系数;kch和kcv分别表示桩体内径向和竖向渗透系数，H表示桩长。

图1 轴对称固结示意图Fig．1 Diagram of the axisymmetric consolidation

解析推导假定如下:

(1)等竖向应变条件成立:即同一深度处土体和桩体的竖向应变相等，不考虑地基土侧向变形;

(2)土体饱和，土中水的渗流服从达西定律;

(3)涂抹区仅起径向排水作用，不考虑其固结;

(4)外部荷载一次性瞬时施加并保持不变，由桩土共同承担。

2 解答的推导过程

2.1 一般性控制方程及求解边界条件［13］

一般性控制方程为:

式中:t、γw——固结时间及水的重度;

u、us、uc——未扰动区、涂抹区土体和桩体内部超静孔隙水压力;

εz——桩体和土体的竖向应变;

ksv——涂抹区土体的竖向渗透系数;

其余未说明的符号意义同图1说明。

径向求解条件:

顶面透水、底面不透水(PTPB)或顶面和底面均透水(PTIB)的边界条件分别为［8～9］:

2.2 未扰动区固结微分方程

根据桩土共同作用原理及等竖向应变假设［8］:

εz——土体和桩体的竖向应变;

Es、Ec——土体和桩体的压缩模量;

由式(13)和式(14)得:

其中:

根据假定(4)，考虑荷载瞬时加载，并对式(15)求时间的偏导:

根据假定(1)，等竖向应变条件成立，未扰动区土体固结微分方程采用式(1):

式中符号意义同前。

参照文献［13］的研究，为得到式(20)的解答，采用Fourier正弦级数表示:

式中:un(r，t)、εzn(t)——u、εz对应的 Fourier系数。

ωn=［(2n-1)π］/(Dh)，对于 PTPB 透水边界，D=2，对于PTIB透水边界，D=1。

参照文献［13］的推导方法，可得式(20)的解:

式中:I0、K0——零阶第一类和第二类虚宗量 Bessel函数;

c1n、c2n——待定常数。

2.3 扰动区(涂抹区)固结微分方程

采用假定(1)和(3)，不考虑涂抹区固结及竖向渗流，扰动区(涂抹区)土体径向固结微分方程可采用式(2)的蜕化表达式:

式中符号意义同前。

为得到式(24)的解答，仍采用Fourier正弦级数表示:

式中:usn(r，t)——us对应的 Fourier系数。

将式(26)依次代入式(25)、(24)得:

式中:c3n、c4n——待定常数。

2.4 桩体内固结微分方程

参照文献［13］的推导方法，可得式(28)的解:

式中:ucn——uc对应的 Fourier系数;

c5n、c6n——待定常数。

2.5 时间函数Bn(t)推导

由式(18)、(23)、(29)运用面积加权方法可求得地基任一深度任意时刻时的总的平均孔压表达式:

对式(30)采用Fourier正弦级数表示:

将式(31)代入式(30)得:

式中:

将式(33)、(34)依次代入式(30)、(19)得:

式(35)为关于变量t的一阶线性偏微分方程，其解为:

根据文献［8］的研究成果，针对复合地基桩土共同承担荷载的特点，复合地基的平均初始孔压等于地基内平均附加应力，即:

式中:σn——(z)对应的 Fourier系数。

将式(23)、(29)、(36)代入式(18)，再代入式(32)，联立式(37)得:

2.6 解答中待定系数的求解

2.6.1 散体桩与涂抹区交界面孔压连续性及流速相等边界条件

将式(27)、(29)代入式(7)、(8)得:

2.6.2 未扰动区与涂抹区交界面孔压连续性及流速相等边界条件

根据式(5)和式(6)，并分别代入式(23)和式(27)得:

联立式(40)～(44)得:

式中:

2.6.3 单桩影响区域外侧不排水边界条件

将式(23)依次代入式(21)、(4)，得:

联立式(45)、(46)得:

式中:Δn=-αnK1(μnre)-βnI1(μnre)

将式(44)、(47)代入式(41)～(43)，并化简:

至此，根据式(47)求得的c1n和c2n，依次代入式(48)～ (50)可分别求得 c5n、c3n和 c4n。

2.7 地基整体平均固结度解答

将式(39)、(36)、(23)代入式(21)可得任意时刻任意位置处未扰动区土体超静孔压表达式:

将式(39)、(36)、(27)代入式(25)可得任意时刻任意位置处涂抹区土体超静孔压表达式:

将式(39)、(36)代入式(29)可得任意时刻任意位置处未扰动区土体超静孔压表达式:

将式(51)、(53)分别代入式(16)、(17)，再代入式(18)，可得到地基任意深度处总的平均孔压:

根据文献［8］的研究，当考虑桩土共同作用及桩体变形，在计算复合地基固结度时，把桩体压缩也引入其中，那么地基的整体平均固结度可定义为:

假定地基平均附加应力沿深度梯形分布，则:

将式(54)、(56)、(57)代入式(55)可得瞬时加载工况下复合地基整体平均固结度:

3 解答的验证

为验证本文所提出解答的准确性，本文选取文献［4］进行对比，文献［4］所考虑因素与本文完全一致，所不同的是其解答不考虑附加应力沿深度的衰减。为精确地对比，本文选取计算参数和力学参数取值与文献［4］完全一致，并令本文的σt=σb以使本文解蜕化成不考虑附加应力的衰减。

由图2可以看出，本文解答与文献［4］解答相差很小，说明本文解答推导的准确性。另外，从图中可以看出本文解答比Xie解答稍微偏大，这是因为本文在推导过程中未考虑涂抹区固结。

图2 本文解答与Xie解答［4］对比图Fig．2 Comparison of the proposed solution with the Xie solution［4］

4 复合地基固结性状分析

根据上文得到的解答，本文对散体桩软黏土复合地基固结的一些影响因素进行了计算分析，基本计算参数取值见图3。

图3 不同平均附加应力分布形式对复合地基固结的影响Fig．3 Effect of the difference in additional mean stress distribution forms on the composite foundation consolidation

图3表示不同平均附加应力形式对复合地基固结的影响，需要指出的是，这里平均附加应力是根据桩土共同作用原理，桩土共同承担附加应力的按面积加权的平均值。从图中可看出地基平均附加应力沿深度倒三角部分(σt=100，σb=0)地基固结速率最快，沿深度呈梯形分布(σt/σb=2)次之，散体桩复合地基固结理论假定地基附加应力沿深度不变化，即矩形分布(σt/σb=1)低估了地基固结速率。

图4表示不同井径比(m=re/rc)与文献［14］的对比图。文献［14］为含竖向排水体地基径竖向固结解，其解与本文解答相比，除未考虑桩(井)内径向渗流，其余考虑完全相同。从图中可看出，随着桩径比增大，本文解答与文献［14］计算结果差距逐渐减小，这是因为井径比增大，意味着桩(井)直径变小，那么桩(井)的径向渗流可忽略不计。

图4 不同井径比下本文解答与文献［14］比较Fig．4 Comparison of the proposed solution with the solution［14］ presented in this paper under different diameter ratios

图5表示不同的置换率和涂抹参数kh/ksh对复合地基固结的影响。从图5中可看出，地基固结速率随置换率(mp=1/m2，m为井径比)的增大而加快;另外，针对相同置换率下的复合地基，kh/ksh比值越大(kh值一定)，说明涂抹区水平渗透系数越小，地基固结影响越慢，涂抹参数kh/ksh对复合地基固结影响较为显著。

图5 不同置换率和kh/ksh对复合地基固结的影响Fig．5 Effect of different area replacement ratio and kh/ksh on the composite foundation consolidation

5 结论

(1)地基平均附加应力沿深度倒三角衰减分布时复合地基固结最快，梯形衰减分布次之，矩形分布最慢。

(2)当工程中桩径比较小时，不考虑桩体径向渗流会低估复合地基的固结速率。

(3)地基固结速率随置换率增大而加快，随涂抹参数kh/ksh比值增大而减慢，且两者对固结速率的影响均显著。

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