因“惑”得“获”

刘慧娜

因“惑”得“获”

刘慧娜

孟子说：尽信书不如无书。教师不要过分迷信教材，教参，要敢于惹“惑”，有惑才会有收获。

一、偶数概念生发的“惑”与“获”

“偶数”概念是小学数学五年级下册的一个重要知识点。对于0是否属于偶数范畴，不同版本的教材，甚至同一版教材在不同的年份、不同的页面有着不同的定义。

2005年人教版教材17页中提到：“自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）”在教材第12页又提到，“为了方便，在研究因数和倍数的时候，所说的数指的是整数（一般不包括0）。”这样一来，偶数只能在自然数范围内讨论。由于在讨论因数倍数的时候将0撇开，所以在定义偶数的时候不得不将0又加上。2013年人教版教材第5页强调：“为了方便，在研究因数和倍数的时候，所说的数指的是自然数（一般不包括0）。”在第9页定义偶数时说：“整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）”新版将因数倍数限定在自然数（除去0）内，但是又用倍数来定义偶数，前面虽然说在“整数中”，但是基于倍数的范围，只能在2的倍数范围内理解偶数，而且0还是硬生生地加在后面。

其它版本教材对偶数是怎样定义的呢？苏教版教材在定义偶数时指出：“在整数中，能被2整除的叫偶数。”这句话将0、正偶数、负偶数都概括了，并且“整除”的概念也在学生的知识结构中，整除的范围也在整数的范围内讨论，此时，不需要强调负偶数，只需点出0的特殊性即可。笔者认为这个偶数定义更加简明深入，优于人教版的偶数定义。

人教版教材的偶数概念是在学生知识结构中已有的“倍数”概念基础上延伸出的二级概念，学生在理解“倍数”的时候已经产生原认知的重建和改组，再在此基础上建立“偶数”概念，增加了难度。苏教版教材用“整除”来定义“偶数”只需要知识的同化，简单许多。

二、认识真分数引发的“惑”与“获”

人教版五年级下册关于“真分数”的定义是：分子比分母小的分数为真分数。在判断是否是真分数时，不同的学生有不同的见解：反对的学生指出，就是0，怎么可能是真分数？支持的学生指出，分子0小于分母12，分母不为0，分数有意义，怎么不是真分数？

两位学生思考的深度让人佩服。其他学生陷入了“不苟同却无法说服”的境地。查阅整理相关资料后，教师总结出探索这一问题的两大要点。

这种问题对于五年级的学生来说，确实不要求掌握，但他们求真的态度却是值得肯定的。由这个问题，自然又会出现这样一个问题：形如这样的数是分数吗？我们知道，是我们熟知的整数，而且根据假分数的定义，可以知道整数就是假分数，那么我们是否可以认为，任何一个正整数都可以写成特殊的分数形式？引入负数以后，-也满足分数的概念以及分数与除法的关系，换句话说，整数（零就写成零分数）均可以写成特殊的分数形式。那么，问题又来了，小学六年级下册73页对于小学阶段学过的“数”进行了分类：

揣摩编者的意图，应该是将小学学习的分数作为一类单独的学习对象，着重强调分数表示整体或单位的一部分，而弱化了分数的表示形式。依笔者愚见，应该将小学所学的“数”进行如下分类：

这样一来，让学生感受到零的突出地位，并且将整个数域对称分，展示了数学中的对称美感。这样既避免了分数表示形式的广泛化，又不会对学生更高一级的学习产生冲突。

三、找次品的优化策略生成的“惑”与“获”

“数学广角《找次品》”是小学数学人教版五年级下册的内容，旨在帮助学生利用数学思维更好地解决生活实际问题。一次听课活动中，教师先讲了利用天平称重在3个物品中找1个次品的方法，而后延伸到在6个物品中找1个次品的方法。对于是将次品分为（2，2，2）还是分为（3，3），学生的讨论陷入白热化：

生A：我认为第一种分法更好，它最大的优点在于第一次称完，只剩下两个物品了，再称一次就能找出次品。

生B：我觉得第二种方法更好，它在称第二次的时候剩下三个，这样一来，我们就转化成研究3个的问题，这个问题刚刚研究过，轻车熟路。

生C：其实我觉得两种方法差不多，如果次品总数是3的倍数，那么就平均分成3份，如果是2的倍数，就平均分成2份，6是2和3的公倍数，所以两种方法都好。

于是学生们就分成三派进行舌战。生A、生B争论的焦点是称第二次时，次品是在2个中选，还是在3个中选的问题，也就是在讨论找出次品的“可能性”问题，这样就将问题深入并迁移到“可能性”。然而这一知识点存在于学生的知识结构之中，在唤醒学生的元认知的同时，还加深对“可能性”知识点的理解。即：在两个中选，找到次品的可能性（概率）就是1∕2，在三个中找，次品的可能性（概率）就是1∕3，那么目前可以得出（2，2，2）分法更优一些。

但是对于整个找次品的过程，这个优势还在吗？这个时候可以提示在第一次称时，找到“次品组”的可能性，（2，2，2）分法是在三组里面挑两组放在天平上称，可能性为1∕3；但是（3，3）却是在两组里面挑，可能性为1∕2。

综合两次称量，（2，2，2）的优势在第二次称量，（3，3）却是在第一次称量，所以结论就是：在可能性方面，两种方法势均力敌。

数学中的转化思想是解决数学问题的重要思想。生B巧妙地利用了这一点，在解决在6个物品中找1个次品的问题时，通过第一次称量巧妙地将问题转化成已经解决的问题，也就是数学教学中的“同化”作用。生C的闪光点在于综合了生A与生B的方法，寻找到“通法”，先不说方法的使用范围，而是将公倍数的概念引用至此。

（作者单位：保康县城关镇小学）

实习编辑孙爱蓉

责任编辑 姜楚华