对导体棒在匀强磁场中极限速度的讨论

对导体棒在匀强磁场中极限速度的讨论

葛晓东余杰成

(浙江省杭州第二中学浙江 杭州310053)

摘 要：在中学物理教材中有这么一类变加速的问题,定性判断的结果是物体最终要做匀速运动,但是在通过对导体棒在磁场中运动情况进行严密的数学推导后得出了一个和常规理解不同的结论:匀强磁场中切割磁感线的导体棒有可能无法达到匀速的状态, 对这一熟知的结论进行了修正,并且将该结论推广到高中其他类似的问题模型中去,比如在机车启动中的极限速度问题．

关键词：安培力电磁感应极限速度

收稿日期：(2015-05-12)

1题目

近日做到一道电磁感应方面的综合题:两条水平虚线之间有垂直于纸面向里，宽度为d，磁感应强度为B的匀强磁场．质量为m，电阻为R的正方形线圈边长为L(L

A．线圈可能一直做匀速运动

B．线圈可能先加速后减速

图1

这个解释乍一看很有道理，但不难看出它只进行了定性分析．于是笔者抱着怀疑的态度进行了定量运算，证明了它的谬误并得到了一些副产物．

由于只研究线圈进入磁场时的运动情况，所以本文将此过程一般化，即转化为一根导体棒在匀强磁场内运动的情况．

2引理

先证明一个引理．

引理：在有限的时间内，一个加速度a数值和速度v数值始终成正比的减速直线运动的速度不可能减为零．

引理的证明：

设a=-kv，其中k为大于零的常数．记初速度为v0(v0>0)．运用数学归纳法：

a=-kv≥-kvn

故

顺带一提，此运动的位移是有上界的，证明如下：

于是位移

故位移有上界．

从而易得位移的最小上界

但这不在本文的探究范围内.

由于只研究线圈进入磁场时的运动情况，所以本文将此过程一般化，即转化为一根导体棒在匀强磁场内运动的情况．

3讨论

3.1导体棒不受安培力以外的力

如图2，足够长的水平导轨宽度为L，质量为m的导体棒电阻为R，导轨间充满磁感应强度为B的匀强磁场．t=0时刻，导体棒开始以初速度v0向右运动．

图2

记某时刻速度为v，则

感生电动势

ε=BLv

感应电流

安培力

加速度

可见导体棒的加速度与其速度成正比！

由引理，导体棒在有限的时间内一直做减速运动．

导体棒的速度图像如图3所示,为指数曲线,无限趋近于零．

图3

3.2导体棒受恒定外力

如图4，足够长的水平导轨宽度为L，质量为m的导体棒电阻为R，导轨间充满磁感应强度为B的匀强磁场．t=0时刻，导体棒开始以初速度v0向右运动，同时给导体棒施加一个水平向右的恒定外力．

图4

记某时刻速度为v，分3类情况讨论：

感生电动势

ε=BLv0

感应电流

安培力

故导体棒受力平衡，做速度为v0的匀速运动．

感生电动势

ε=BLv0

感应电流

安培力

加速度

可见加速度与v′成正比．

由引理，v′在有限时间内不能减为零，故导体棒一直做减速运动．

通过计算可得

及位移

若时间足够长,其速度图像如图5所示,为指数曲线,无限趋近于

图5

感生电动势

ε=BLv0

感应电流

安培力

加速度

可见加速度与v′成正比．

由引理，v′在有限时间内不能减为零，故导体棒一直做加速运动．

通过计算可得

及位移

若时间足够长,其速度图像如图6所示,为指数曲线,无限趋近于

图6

综合上述讨论，可知在有限时间内，导体棒的运动情况只可能为一直加速、一直减速或一直匀速．

4结论

以上过程证明了导体棒在匀强磁场中的运动情况不可能为先变速后匀速，故原题中线圈进入磁场时的运动情况在有限时间内不可能是先减速后匀速，所以选项C是错误的．

额外的，我们发现一些题干中有“导体棒经过时间t后变为匀速运动”或“受恒力的导体棒位移x后变为匀速运动”的高中物理题目从严格意义上说均是错题．

这可真是个有意思的结论．而且这个结论应该也可以适用机车恒定功率加速的模型中,按照本文的引理可以知道,机车只能无限靠近恒速,但是无法达到最终的匀速运动,感兴趣的读者可以加以证明．