分数阶时频局部二值模式谱在齿轮故障诊断中的应用

张云强，张培林，李　兵

(军械工程学院车辆与电气工程系，石家庄　050003)

第一作者张云强男，博士生，1987年生

分数阶时频局部二值模式谱在齿轮故障诊断中的应用

张云强，张培林，李兵

(军械工程学院车辆与电气工程系，石家庄050003)

摘要：针对齿轮故障信号分析，提出采用分数阶时频LBP谱表达齿轮故障信号的时频特征。首先为克服S变换对高频信号的时频分辨性能差的不足，基于分数阶Fourier变换良好的时频旋转特性设计了一种分数阶S变换，用于获取齿轮信号的二维时频表示；然后引入局部二值模式(LBP)算子，将LBP算子作用于分数阶S变换时频图，提取分数阶时频LBP谱；最后结合“uniform”模式LBP的概念和类内类间距准则，对分数阶时频局部二值模式谱进行特征优选，用于表达齿轮故障特征。对5种不同状态的齿轮信号进行了分析，结果表明优选后的分数阶时频LBP谱具有较强的特征描述能力，是齿轮故障信号的一类新的有效特征参数。

关键词：故障诊断；齿轮；特征提取；分数阶S变换；局部二值模式

基金项目：国家自然科学基金资助项目(E51205405,51305454)

收稿日期：2014-03-05修改稿收到日期：2014-06-06

中图分类号:TH165.3；TH113

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.022

Abstract:A novel scheme utilizing fractional order time-frequency local binary pattern(LBP) spectra was proposed to express time-frequency characteristics of gear fault signals. Since the time-frequency resolution of S transformation was low to high-frequency signals, the fractional Fourier transformation with excellent time-frequency rotating character was integrated into S transformation and as a result, a fractional S transformation was designed. The fractional S transformation was employed to obtain 2D time-frequency representations of gear fault signals. Then, LBP operator was introduced and imposed on time-frequency images of the fractional S transformation to extract fractional order time-frequency LBP spectram. With the concept of uniform pattern of LBP and the separability evaluation criterion, the fractional order time-frequency LBP spectra were optimally selected for succinct description of gear fault features. Gear vibration signals under five different states were analyzed. The results indicated that the optimally selected fractional order time-frequency LBP spectra have an outstanding feature description capacity; they are a kind of new and effective feature parameters for gear fault signals.

Application of fractional order time-frequency local binary pattern spectra in gear fault diagnosis

ZHANGYun-qiang,ZHANGPei-lin,LIBing(Department of Vehicles and Electrical Engineering, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

Key words:fault diagnosis; gear; feature extraction; fractional order S transformation; local binary pattern (LBP)

齿轮是在机械设备中广泛应用的传动部件之一，当发生故障时，其振动信号属于典型的非线性、非平稳信号[1]。在非平稳信号处理领域，时频分析技术采用时域和频域的二维联合表示，可以对非平稳信号的局部特性精确描述，具有时域和频域等传统技术无法比拟的优势[2-3]。

常用的时频分析技术有小波变换[4]、S变换[5]和经验模式分解[6]等。这些技术虽然在机械信号处理中具有广泛应用，但是都存在一些不足。在小波分析中，母小波的选择对信号分析结果影响很大，而选择合适的母小波并非易事，并且小波尺度与信号频率没有良好的对应关系。在短时Fourier变换和小波变换的基础上提出的S变换虽然克服了小波变换的一些不足，但是其高斯窗函数的标准差固定为频率的倒数，导致对高频信号的时频分辨力较差。经验模式分解对噪声敏感，存在模式混叠现象，容易产生虚假分量。

分数阶Fourier变换作为Fourier变换的推广，是一种统一的时频分析方法，可以看成时频面内的旋转因子，在不同阶次的分数阶频域具有不同的时频聚集性[7-8]。为了提高信号时频分析的灵活性和S变换的时频分辨性能，本文基于分数阶Fourier变换良好的时频旋转特性，提出一种新的时频分析技术，分数阶S变换，并应用于齿轮故障信号处理。

分数阶S变换二维时频图虽能有效描述信号的时频局部特性，但其维数巨大，不能直接作为信号的时频特征参数，还需要进一步提取低维特征。鉴于时频图本质上是一种图像，不同状态齿轮信号的时频图会呈现出不同的纹理，引入常用于描述图像纹理特征的局部二值模式[9-10]理论，在分数阶S变换对齿轮信号处理的基础上，提出一种分数阶时频局部二值模式谱，并结合“uniform”局部二值模式[11]概念和类内类间距准则[12],对分数阶时频局部二值模式谱进行特征优选，用于表达齿轮故障信号特征。

1分数阶S变换

1.1S变换和分数阶Fourier变换

S变换结合了短时Fourier变换和小波变换的优点，是一种较新的时频分析方法。对于非平稳时间信号x(t)，其S变换如下[13]

ST(τ,f)=

(1)

式中:w(t)为高斯窗函数，表达式为

(2)

由式(2)可知，S变换的高斯窗函数的标准差σ为频率f的倒数，即σ=1/|f|，其时窗宽度随着频率f的增大而减小。由此可知，S变换对低频信号具有较高的频率分辨力，而对高频信号具有较高的时间分辨力。

分数阶Fourier变换是Fourier变换的广义形式，能将时域信号变换到分数阶频域，并且得到信号新的表示。信号x(t)的分数阶Fourier变换定义为

(3)

式中:Ka(t,u)为分数阶Fourier变换核。

(4)

分数阶Fourier变换可以看成二维时频面内的旋转因子，具有一定的时频旋转特性。a阶分数阶Fourier变换可以将信号从时间轴逆时针旋转任意角度α到分数阶频率轴，并且获得其在分数阶频域中新的表示。当a=1时，分数阶Fourier变换即为传统的Fourier变换。

1.2分数阶S变换

S变换虽然具有比小波变换更好的时频特性，但是对高频信号的时频分辨力不理想。为了提高S变换的时频分辨力，本文利用分数阶Fourier变换良好的时频旋转特性，定义分数阶S变换如下

FrST(τ,u)=

(5)

式中:高斯窗函数w(t,u)是时间t和分数阶频率u的函数，如式(6)所示。

(6)

式中:p为窗函数调整参数，p∈(0,1]。

由式(5)和式(6)可知，随着a和p取值的变化，分数阶S变换能将信号变换到不同的分数阶频域分析，具有更大的灵活性。同时，分数阶S变换的时窗宽度随着分数阶频率的增大而减小，所以它对分数阶低频信号具有较高的频率分辨力，而对分数阶高频信号具有较高的时间分辨率，继承了S变换良好的时频特性。通过引入调整参数p，可以有效调节信号频率对时窗宽度的影响，使低频和高频信号的分辨力达到较好的折中，从而提高信号的整体时频分辨性能。需要注意的是，当a=1且p=1时，分数阶频域即传统的Fourier频域，此时分数阶S变换退化为S变换。

1.3分数阶S变换快速算法

为了快速实现分数阶S变换，根据卷积的定义，首先将分数阶S变换的定义式改写为

FrST(τ,u)=[x(t)Ka(t,u)]*w(t,u)

(7)

令F(x(t))和F-1(x(t))分别表示x(t)的Fourier变换及其逆变换，根据时域卷积定理有

F[FrST(τ,u)]=F[x(t)Ka(t,u)]F[w(t,u)]

(8)

对上式两边同时进行Fourier逆变换得

FrST(τ,u)=

F-1{F[x(t)Ka(t,u)]F[w(t,u)]}

(9)

由式(9)可知，信号x(t)的分数阶S变换可以通过Fourier变换及其逆变换得到。由于Fourier变换及其逆变换已有成熟的快速算法，因此可以借助它们实现分数阶S变换的快速计算，具体步骤不再赘述。

1.4仿真信号分析

为了验证分数阶S变换的有效性，构造仿真信号x(t)如下

x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)

x1(t)=sin(30πt)

x2(t)=sin(30+50πt·4t)

x3(t)=sin[200πt+200πt2+20πtcos(2πt)]

(10)

由式(10)可知，x(t)由1个正弦分量和2个非线性调频分量组成。设置采样频率和采样时间分别为1 024 Hz和1 s，其时域波形见图1。

图1　仿真信号Fig.1 The simulated signal

对仿真信号x(t)分别进行短时Fourier变换、Morlet连续小波变换、S变换和分数阶S变换(见图2)。

对比图2中子图可以看出，由于短时Fourier变换的时窗宽度固定，其低频和高频的时频分辨率都很差；连续小波变换由于尺度的大小与信号的频率没有较好的对应关系，导致时频图的频率分辨力较差，不能很好地表达信号各分量的频率随时间的变化情况；S变换虽然对低频信号具有较好的时频分辨力，但在高频的时频分辨力较差；分数阶S变换由于具有类似于分数阶Fourier变换的时频旋转特性，并引入了窗函数调整参数，时频分辨性能明显提高，尤其是在信号高频部分。因此，分数阶S变换具有更好的时频特性，本文选其获取齿轮信号的二维时频图。

图2　仿真信号二维时频图Fig.2 2D time-frequency images of the simulated signal

2分数阶时频局部二值模式谱特征

2.1局部二值模式算子

局部二值模式是由Ojala等为了度量图像局部对比度而提出的，其基本思想是根据图像局部区域的中心像素与邻域像素的灰度差异进行二进制编码，从而对图像纹理进行描述[14]。

LBP算子最初定义在3×3的矩形邻域上，编码过程见图3，编码规则为：当fi≥fc时，对应位置编码为1，否则编码为零，然后按顺时针方向构成8位二进制数，即为中心像素fc的LBP。由于定义在3×3矩形邻域上的LBP存在不能提取大尺寸纹理特征的局限性，Ojala等又将LBP算子的邻域从3×3的矩形扩展到了任意半径R和任意邻域点数P的圆环形，对应的算子记为LBPP,R。图4为三种常见的圆环形邻域。

图3　LBP编码过程Fig.3 The coding process of LBP

图4　三种常见的圆环形邻域Fig.4 Three circular neighborhoods for LBP

LBPP,R的计算公式如下[11]

(11)

(12)

2.2分数阶时频局部二值模式谱

齿轮信号的时频图经过局部二值模式算子处理后仍然是一个维数巨大的矩阵。为了有效描述齿轮信号时频图的纹理特征，在分数阶S变换时频图经局部二值模式算子处理的基础上，定义分数阶时频局部二值模式谱H(h)，数学描述如下

(13)

式中，n=2P；h=0,1,…，n-1；I是一个语句判断函数，当LBPP,R(x,y)=h时，I{LBPP,R(x,y)=h}=1，否则I{LBPP,R(x,y)=h}=0；M、N分别为时频图矩阵的行数和列数。

2.3分数阶局部二值模式谱特征优选

通过研究发现，LBP只有少部分模式属于描述图像纹理的重要模式，其出现概率达到90%以上，这些模式称为“uniform”模式。如果把二进制串连成一个圆，“uniform”模式就是串中从0到1和1到0的转换次数不超过2次的模式。以P=8，R=1为例，由式(11)可知LBPP,R的取值可达256种之多，而“uniform”模式LBPP,R的模式数目最多只有59种。虽然“uniform”模式仅占LBP的小部分，但是它反映了绝大部分纹理信息。另外， “uniform”模式LBP谱中不同参数的可分性差异很大，因此对齿轮信号特征描述和分类的贡献差异也很大。

鉴于特征优选的目的是寻求类间散度最大而类内散度最小，本文首先利用“uniform”模式的概念对分数阶时频局部二值模式谱进行初选，即将分数阶时频局部二值模式谱中非“uniform”模式对应的数值舍弃，仅保留“uniform”模式对应的数值。在此基础上，进一步通过类内类间判据对特征进一步优选，其定量评价指标为

(14)

式中:Sb和Sw分别为类内散度和类间散度。

3齿轮故障信号分析

实验齿轮故障信号选自某型二级传动齿轮箱振动试验。该试验系统中的两对齿轮副的齿数分别为25/50和18/91，输入轴由电机带动，其转速为1 491 r/min，输出轴连接一个磁性阻尼器作为负载。试验中模拟了齿轮在正常、中间轴齿根裂纹和齿面磨损、输出轴齿根裂纹和齿面磨损5种状态。选择的采样频率和采样点数为6 400 Hz和1 024。图5为5种不同状态的齿轮故障信号。

图5　5种不同状态的齿轮故障信号Fig.5 Gear fault signals from five different states

3.1齿轮故障信号的分数阶时频表示

采用分数阶S变换分别对上述5种不同状态下的齿轮故障信号进行处理，获取其二维时频图。对于同一种状态下的齿轮信号，设定参数a和p的取值相同，并通过多次实验进行确定。最终，5种信号的时频表示见图6。

图6　齿轮信号的分数阶S变换时频图Fig.6 Time-frequency images of gear signals from fractional S transform

由图6可知，不同状态的齿轮信号的时频图具有明显差异，呈现出不同的纹理特征。因此，齿轮故障信号的分数阶S变换二维时频图就纹理角度而言具有可分性。

3.2分数阶局部二值模式谱特征提取

在分数阶S变换的基础上，分别采用图4中三种常见的环形邻域提取分数阶局部二值模式谱。

图7为不同信号的分数阶时频LBP8,1谱、LBP8,2谱和LBP16,2谱，其中每种信号包含5个样本，维数分别为256、256和65 536。基于“uniform”模式的概念对图7中分数阶局部二值模式谱特征进行初选的结果见图8，其维数分别降为59、59和243。

对比图7和图8可知，由于“uniform”模式是局部二值模式中少量且重要的模式，初选后的“uniform”模式分数阶时频LBP谱特征维数大大降低，并且包含了原分数阶LBP谱的主要信息。

根据类内类间判据准则易知，当式(14)中定量评价指标较大时，对应的特征具有较好的可分性，但是评价指标阈值不能选择太大，太大会造成选出的特征数量太少，不能很好地描述信号。因此，通过多次实验，最终选择定量评价指标阈值为0.9，对上述初选后的分数阶时频LBP谱特征进一步优选。优选结果见图9，特征维数分别为13、15和97。由图9中优选结果可以看出，虽然“uniform”模式是局部二值模式中比较重要的模式，但是就可分性而言，它们仍存在明显差异，表现出不同的类内聚合性和类间分散性。

图7～图9中H(h)和h的含义同式(13)，且均无量纲。

综上可知本文特征优选方法具有合理性和有效性。

图7　齿轮信号的分数阶时频局部二值模式谱Fig.7 Fractional time-frequency LBP spectrums of gear signals

图8　“uniform”模式分数阶时频局部二值模式谱Fig.8 Uniform pattern fractional time-frequency LBP spectrums of gear signals

图9　优选后的分数阶时频局部二值模式谱Fig.9 Optimally selected fractional time-frequency LBP spectrums of gear signals

3.3齿轮故障诊断

将分数阶时频局部二值模式谱应用于齿轮故障诊断。从每类状态的齿轮故障信号中分别随机抽取40个样本，其中20个组成训练样本，其余20个组成测试样本，选择朴素贝叶斯分类器进行识别。同时，引入基于S变换的时频局部二值模式谱(时频局部二值模式谱)作为对比实验。实验一共重复10次，平均结果见图10。

由图10柱状图可知，由于分数阶S变换比S变换更灵活、时频分辨性能更好，表达齿轮故障信号时频特性更加精确，基于分数阶S变换提取的特征分类效果优于基于S变换提取的特征，并且随着特征优选过程的进行，这种优势更加明显。

无论基于S变换还是分数阶S变换，所提取的局部二值模式谱特征在未进行特征优选前的分类精度较低，说明原始局部二值模式谱中包含的大量不重要信息不但对齿轮故障诊断没有贡献，反而严重影响了诊断精度。通过“uniform”模式概念优选后的特征由于舍弃了不重要模式，特征维数大幅度降低，上述不重要信息对故障诊断的影响减小，因此诊断精度有所提高。经过两次优选后的局部二值模式谱特征通过类内类间判据准则筛选出的特征参数具有较大的类间散度和较小的类内散度，使对齿轮故障信号的描述能力和区分能力增强，因而朴素贝叶斯分类器获得了更好的分类精度，进一步提高了齿轮故障诊断精度。另外需要指出的是，随着特征优选过程的深入，特征维数迅速减少，故优选后的特征具有更快的诊断速度。

总之，分数阶S变换改善了S变换的时频特性，分析齿轮故障信号的灵活性更大、精度更高。结合“uniform”局部二值模的概念和类内类间距准则优选后的分数阶时频局部二值模式谱具有特征维数低、描述能力强和鉴别性能好的优点，适用于齿轮故障诊断。

图10　齿轮故障诊断精度Fig.10 Gear fault diagnosis accuracy

4结论

针对齿轮故障信号时频特征提取问题，本文借鉴分数阶Fourier变换的时频旋转特性，改进了S变换。通过在S变换中引入分数阶Fourier变换核和增加窗函数调整参数，提出了一种分数阶S变换。仿真信号分析表明，分数阶S变换具有更大的灵活性和更好的时频分辨力。基于分数阶S变换，定义了分数阶时频局部二值模式谱，并结合“uniform”局部二值模式的概念和类内类间距准则对分数阶时频局部二值模式谱特征优选方法进行了研究。通过齿轮故障信号分析，验证了分数阶时频局部二值模式谱用于表达齿轮故障信号时频特征的可行性和有效性。与优选前相比，优选后的分数阶时频局部二值模式谱具有特征维数低、可分性好的优点，可以有效提高齿轮故障诊断精度。

参考文献

[1]李兵, 米双山, 刘鹏远, 等. 二维非负矩阵分解在齿轮故障诊断中的应用[J]. 振动、测试与诊断, 2012, 32(5): 836-840.

LI Bing, MI Shuang-shan, LIU Peng-yuan, et al.Application of two-dimensional non-negative factorization for gear fault diagnosis[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2012, 32(5): 836-840.

[2]姜鸣, 陈进, 汪慰军. 几种Cohen 类时频分布的比较及应用 [J]. 机械工程学报, 2003, 39(8): 129-134.

JIANG Ming, CHEN Jin, WANG Wei-jun. Comparison and application of some time-frequency distributions belonging to Cohen class[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2003, 39(8): 129-134.

[3]Meltzer G, Ivanov Y Y. Fault detection in gear drives with non-stationary rotational speed—part I: the time-frequency approach[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2003, 17(5): 1033-1047.

[4]马伦, 康建设, 孟妍, 等. 基于Morlet小波变换的滚动轴承早期故障特征提取研究[J]. 仪器仪表学报, 2013, 34(4): 920-926.

MA Lun, KANG Jian-she, MENG Yan, et al. Research on feature extraction of rolling bearing incipient fault based on Morlet wavelet transform[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument, 2013, 34(4): 920-926.

[5]赵淑红, 朱光明. S变换时频滤波去噪方法[J]. 石油地球物理勘探, 2007, 42(4): 402-408.

ZHAO Shu-hong, ZHU Guang-ming. Time-frequency filtering to denoise by S transform[J]. Oil Geophysical Prospecting, 2007, 42(4): 402-408.

[6]邵忍平, 曹精明, 李永龙. 基于EMD 小波阈值去噪和时频分析的齿轮故障模式识别与诊断[J]. 振动与冲击, 2012, 31(8): 96-101.

SHAO Ren-ping, CAO Jing-ming, LI Yong-long. Gear fault pattern identification and diagnosis using time-frequency analysis and wavelet threshold de-noising based on EMD[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(8): 96-101.

[7]陶然, 邓兵, 王越. 分数阶傅里叶变换及其应用[M]. 北京:清华大学出版社, 2009.

[8]Ervin S, Igor D, Ljubisa S. Fractional fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent development[J]. Signal Processing, 2011, 91: 1351-1369.

[9]Loris N, Alessandra L, Sheryl B. Survey on LBP based texture descriptors for image classification[J]. Expert Systems with Applications, 2012, 39: 3634-3641.

[10]SONG Tie-cheng, LI Hong-liang. WaveLBP based hierarchical features for image classification[J]. Pattern Recognition Letters 2013, 34: 1323-1328.

[11]Ojala T, Pietikainen M, Maeenpaa T. Multiresolution gray-scale and rotation invariant texture classification with local binary patterns[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2002, 24(7): 971-987.

[12]周晓英, 李巍华, 丁康.基于关联向量机的齿轮故障检测方法研究[J]. 振动与冲击, 2008, 27(6): 51-54.

ZHOU Xiao-ying, LI Wei-hua, DING Kang. Gear fault detection based on relevance vector machine[J]. Journal of Vibration and Shock, 2008, 27(6): 51-54.

[13]Djurovi I, Sejdi E, Jiang J. Frequency-based window width optimization for S-transform[J]. AEU-International Journal of Electronics and Communications, 2008, 62(4): 245-250.

[14]白航, 赵拥军, 胡德秀. 时频图像局部二值模式特征在雷达信号分类识别中的应用[J]. 宇航学报, 2013, 34(1): 139-146.

BAI Hang, ZHAO Yong-jun, HU De-xiu. Radar signal recognition based on the local binary pattern feature of time-frequency image[J]. Journal of Astronautics, 2013, 34(1): 139-146.