TMD控制系统的相位及控制效果分析

刘良坤 ，谭　平 ，李祥秀 ，张　颖 ，周福霖 ,

(1.广州大学工程抗震研究中心，广州　510405； 2.北京工业大学建筑工程学院，北京　100124)

第一作者刘良坤男，硕士生，1988年生

TMD控制系统的相位及控制效果分析

刘良坤1，谭平1，李祥秀2，张颖1，周福霖1,2

(1.广州大学工程抗震研究中心，广州510405； 2.北京工业大学建筑工程学院，北京100124)

摘要：推导了TMD系统的相位公式,研究了各参数对相位差及减震效果的影响。结果表明当TMD选取最优频率比与最优阻尼比时具有最优控制效果。TMD质量比的增大不仅有助于增加控制效果，而且提高了频域内的控制鲁棒性。此外，本文提出了相能原理并结合能量耗散相等的原理给出了TMD的等效阻尼比，该数值比白噪声激励下推导的等效阻尼比更加符合TMD系统的实际情况。

关键词：TMD系统;相位差;结构控制;相能原理;等效阻尼比

基金项目：国家973项目(2012CB723304)；国家基金委面上项目(51208129)；国家教育部新世纪人才项目(NCET-11-0914)；广州市羊城学者科技计划项目(10A032D)

收稿日期：2013-12-19修改稿收到日期：2014-06-06

通信作者谭平男，研究员，博士生导师，1973年生

中图分类号:TU352.1

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.028

Abstract:Here, the phase formulas of a TMD control system were derived. The effects of parameters on phase difference and vibration reduction result were investigated. Both the frequency band of vibration reduction and the distribution of phase difference change with parameters were indicated. The results showed that the comprehensive optimal control effect of TMD is obtained with the optimal damping ratio and the optimal frequency ratio; the increase in mass ratio of TMD can improve both the control performance and control robustness. In addition, the theory of phase energy combined with the principle of energy dissipation was employed to obtain the equivalent damping ratio of TMD. It was shown that the proposed equivalent damping ratio is more reasonable than that deduced under the excitation of white noise.

Phase and performance analysis for TMD control systems

LIULiang-kun1,TANPing1,LIXiang-xiu2,ZHANGYing1,ZHOUFu-lin1,2(1. Earthquake Engineering Research & Test Center, Guangzhou University, Guangzhou 510405, China；2. School of Civil Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

Key words:TMD system; phase difference; structural control; theory of phase energy; equivalent damping ratio

调谐质量阻尼器(TMD)在高层建筑和高耸结构的振动控制中有较为广泛的运用。TMD系统通过自身的惯性力反作用于主结构，从而达到减震目的。其参数的选取极大地影响着减振效果，Den hartog[1]利用二自由度体系并假定主结构无阻尼的情况下推导了TMD的最优频率比与最优阻尼比；当考虑主结构阻尼时,很难得到最优参数的解析解,不过Sadek[2]等采用数值寻优得到地震控制的TMD最优参数。

Rana[3]通过对TMD参数研究表明使用简谐激励下的参数设计的结果与地震作用时较为接近。谭平等[4]针对带TMD的高耸结构，进行了动力可靠度研究，强调了TMD减震装置限位设计的必要性。黄瑞新[5]采用了二维模型分析了某演播塔的TMD风振控制。欧进萍等[6]比较了TMD,TLD系统的控制效果以及分别对高层钢和钢筋混凝土结构的控制效应。李春祥等[7]广泛评述了TMD等控制装置，指出了有待进一步研究的若干问题。李创第[8]给出了带TMD结构随机地震响应分析的复模态分析方法。但TMD减震过程中相位分析不容忽视。Soong等[9]探讨了简谐激励下TMD单自由度系统相位概念，并指出当TMD相对位移滞后主结构90°相位差时，结构转移到TMD系统的能量最大，此时TMD效果最好，但无定量分析。张俊平等[10]提出了TMD作用在结构上力的相位和外激励输入满足180°相位差时，TMD作用在结构上的力才减小外激励，降低结构响应，但只限于正弦荷载输入。张力[11]提出TMD主结构的速度相位与TMD相对主结构位移相位为180°时，即TMD的减震效果最好。但上述文献并未给出TMD系统相位差与减震机理的详细研究。文献[12-13]通过地震或风作用激励的主结构位移方差分析，求出等效阻尼比，但此时等效阻尼比与外激励频率无关，与实际不符。本文推导了主结构有阻尼情况下TMD系统相位差公式，并研究其与减震效果的关系；提出了相能原理，结合能量耗散等效原理得出了单自由度的等效阻尼比及其与控制效果的关系。

1计算模型与相位差推导

1.1简化模型及动力方程

TMD控制系统(以下简称TMD系统)，见图1。

图1　TMD系统简化模型Fig.1 Simplified model of TMD system

为方便相位的分析，在水平地震作用下TMD系统的运动方程采用形式：

(1)

M=diag([m1,m2]),K=[k1+k2,-k2;-k2,k2]

C=[c1+c2,-c2;-c2,c2]

1.2TMD相位差的推导

单自由度体系受正弦激励时，相位差指结构稳态反应的相位与激励相位之间的差值。按文献[11]的分析见图2。

图2　结构与TMD运动的相对位置Fig.2 Relative position of structure and TMD

图3　TMD等效作用力与结构运动状态Fig.3 TMD equivalent force and motion state of structure

(2)

代入到运动方程(1)中并根据恒等式的条件对比系数得：

(3)

式(3)每一项除m1，并令

式中各参数：

主结构的频率ω1，阻尼比ξ1，TMD频率ω2，阻尼比ξ2；质量比为μ=m2/m1。并求解四元一次方程组得到：

TMD的相对位移：

x2r=(A3-A1)cosωt+(A4-A2)sinωt

(4)

由式(4)得：

x2r=Arsin(ωt+φr)

(5)

主结构的速度：

(6)

那么TMD的相对位移与主结构速度的相位差：θ=φa-φr，以下分析简称相位差。

2TMD系统参数对相位差的影响分析

TMD和主结构的参数对减震效果的影响，实际是相位差与减震效果的关系。本节试图改变子结构参数或主结构的参数来分析相位差与减震效果的关系。

2.1主结构参数的影响

为方便分析，假设TMD系统中主结构为单位质量，TMD与主结构质量比为0.01，TMD系统的最优参数采用Den hartog公式设计。图4(a)绘出了主结构阻尼比0.02时周期与相位差的关系。由图4(a)可得知三条曲线重合，即相位差与主结构周期变化无关，这可从“1.2”的公式中相位差在质量比、频率比、阻尼比确定后就只与主结构频率有关进行解释。若主结构周期为1 s，改变主结构的阻尼比；由图4(b)可得知随着主结构的阻尼比增大时，同一相位差处外激频率比往两端拓展，但在最优频率点处的相位差基本不变。

图4　主结构参数与相位差Fig.4 Main structure Parameters and phase difference

2.2TMD参数的影响

在研究TMD参数与相位差的关系时，假定TMD系统中主结构为单位质量，主结构阻尼比0.02。图5(a)中频率比与阻尼比按Den hartog公式计算:

fopt=1/(1+u)

(7)

(8)

绘出TMD最优参数时相位差随质量比的变化规律图，随着质量比的增大，同一相位差处外激频率比往两端拓展，即同一相位差质量比越大外激频率比频带越大。

图5(b)频率比按Den hartog公式计算，取质量比为0.01。与其它阻尼比相比，最优阻尼比0.06(图5(b)中细实线ζ=0.06)处于其余线条中间，相位差处于90°以上的频段较宽。图5(c)阻尼比按Den hartog[1]公式计算，取质量比为0.01。图5(c)中最优频率比取0.99(图5(c)粗实线f=0.99)在主结构共振频率处相位差接近180°具有最好减震效果，而其余相位都严重偏离180°。因此，在确定合适质量比后，TMD采用最优频率比与最优阻尼比在具有综合最优减震效果，此时相位差接近180°。

3TMD系统相位差的应用

3.1相位差与减震效果

为了分析相位差的对减震效果的影响，取TMD控制系统与无控结构在基底受正弦激励下的位移幅值之比为放大系数。其中无控结构的幅值：

(9)

图5　TMD参数与相位差Fig.5 TMD parameters and phase difference

质量比左失效段右失效段总失效区段有效控制区段有效外激频率比范围0.01-75°～52°-90°～92°-90°～92°92°～180°0.91～1.080.02-71°～49°-90°～104°-90°～104°104°～180°0.89～1.110.03-69°～45°-90°～109°-90°～109°109°～180°0.87～1.130.04-67°～43°-90°～115°-90°～115°115°～180°0.85～1.140.05-66°～40°-90°～120°-90°～120°120°～180°0.83～1.15

图6　相位差与减震效果Fig.6 Phase difference and vibration-reduction

当质量比由0.01到0.05变化时，按Den hartog[1]公式计算作相位差与放大系数关系见图6a，质量比与相位差的关系如“2.2”所述，此处将详细说明不同质量比下放大系数、外激频率比和相位差的关系。图6(b)为相位差与放大系数关系图，由图可见质量比的增加提高了减震效果，其余详细情况见表1。

表1中失效区段表示放大系数大于1的情况，有效控制区段则表示放大系数小于1；“左”和“右”表示图6(a)中外激励频率比1对应的左右相位差区段。表1中给出的具体情况，经分析发现：质量比0.01到0.05变化，有效控制相位差区段从92°～180°变为120°～180°度，也就是说有效控制区域的相位差区段减小了，使更多的区域处在接近最佳控制点；而外激励频率比则从0.91～1.08变为0.83～1.15，说明外激励频率的有效控制频带加宽了。这就说明小范围内的质量比的增大不仅有助于增加控制效果，而且增加了频域上的控制鲁棒性。

3.2TMD等效阻尼比的确定及其能量分析

本文所用的相位差为TMD系统相对主结构位移与主结构速度的稳态反应之间的相位差；若按“1.2”所述指主结构阻尼力与TMD等效作用力的相位差，即主结构速度与TMD等效作用力的相位差，这两种情况是等效的。那么主结构参数与TMD参数一旦确定，其相位差便可求得，并且利用相位差与能量的关系还可求得TMD系统的等效阻尼比。

在稳态运动的一个自振周期内，当TMD系统的相位差为180°时，TMD对主结构完全做负功，即阻碍主结构的运动；当相位差为0°时，对主结构完全做正功，起放大主结构运动作用；当相位差为90°时，在一个循环内对主结构所做的正负功相互抵消，基本不放大也不减小主结构的响应，这从“3.1”中的分析也可论证：质量比较小时相位差90°左右为有效控制区段的分界点。由于TMD等效作用力做功与相位差有关，本文将TMD做功原理称为相能原理，以下为这一原理的推导：

当TMD控制系统基底受到某一正弦激励，为方便分析可令相位平移后的主结构稳态速度为

(10)

取θ为主结构速度与TMD等效作用力的相位差，稳态时的TMD等效作用力为

Fe=Fsin(ωt+θ)

(11)

当相位差θ=00，TMD等效作用力做功表示如下：

(12)

当相位差θ不为0，TMD等效作用力做有效功表示如下：

(13)

这就推出相能原理公式，TMD等效作用力做功为相位差余弦值与相位差为0时的等效作用力做功之积。利用相能公式即可论证上述相位差在0°、90°、180°的做功情况。公式表明TMD系统对主结构的控制作用依赖于相位差，因为TMD的有效功与相位差有关，而有效功对消耗主结构振动能量起着重要作用。因此调节好相位差是TMD系统良好控制与鲁棒性控制的重要保证。

基底受到到正弦激励时TMD等效作用力

(14)

有效功表达式

m2πω2(A2A3-A1A4-pA1)

(15)

主结构耗能(Ed),无控结构耗能(Ed0):

(16)

(17)

根据能量等效原则，TMD的附加粘性阻尼比的确定

(18)

于是TMD控制系统的总等效阻尼比：ξeq=ξ1+ξa，其中ξ1为主结构阻尼比。

为确定此方法的有效性，可根据文献[13]的的方法求出等效阻尼比对比，通常假设地震或风作用为白噪声激励，通过分析主结构方差求出的等效阻尼比。本文取Luft[14]假定地震激励为白噪声时的拟合出的等效阻尼比作对比:

(19)

作出TMD等效阻尼比及其幅值、能量的关系见图7。图7(a)中按白噪声激励下的等效阻尼比为定值0.041，不能真正的反映TMD的等效阻尼比，因为TMD对主结构的减震效果受外激励频率的影响，在最优频率比处减震效果最好，其等效阻尼比最大，而在失效时有放大作用，此时等效阻尼比应小于原主结构的阻尼比；

图7　TMD等效阻尼比与幅值、能量关系Fig.7 Equivalent damping of TMD vs amplitude or energy of structure

但从图7(a)可知，采用能量进行等效时，可以体现结构在不同频率比处有不同的等效阻尼比，更符合实际情况，而白噪声等效阻尼比并未反映出与外激频率比的关系。

图7(b)是正弦激励下的反应幅值，取白噪声等效阻尼比时的幅值，在最优频率比处并未反映TMD系统最佳减震的情况，仅右端失效处重合；当采用能量等效阻尼比时，在左端失效处与TMD系统基本一致，在最优频率比处的等效阻尼比也可正好的反应了实际情况，仅右端处比实际幅值大，但这说明此方法在此处是偏于保守的。图7c的结构耗能关系上，可看出能量等效阻尼比和实际的TMD系统主结构的耗能基本吻合，这可由能量等效的原理解释，但白噪声下的等效阻尼比和实际的TMD系统的主结构的耗能相差甚远。因此，总体上能量等效的阻尼比在分析实际TMD系统时能够更好地体现其特性。但在时域分析时由于要考虑频率特性会受到限制，不过可以通过求取瞬时频率来得到不同时段下的响应。

4结论

本文通过推导TMD系统的相位公式，研究了各参数对相位差和控制效果的影响规律；提出了相能原理，结合能量耗散相等原理推导了不同激励频率比下的等效阻尼比。经过分析有以下结论：

(1)主结构周期对相位差无影响；主结构阻尼比增大时，可增加接近1800区域的频段。在确定合适质量比后最优频率比与最优阻尼比在主结构共振处有最好减震效果。

(2)TMD质量比的增大不仅有助于增加控制效果，而且可增加频域内的控制鲁棒性。

(3)基于相位差结合能量耗散相等推导出TMD等效阻尼比，分析结果表明，该数值比白噪声激励下得到的等效阻尼比更加符合TMD系统的实际情况。

参考文献

[1]Den Hartog J P. Mechanical Vibrations[M].4thed. NY: McGraw Hill 1956.

[2]Sadek F M, Ohraz B T, Aylor A W, et al. A method of estimating the parameters of tuned mass dampers for seismic applications[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1997,26(6): 617-635.

[3]Rana R,Soong T T. Parametric study and simplified design of tunedmass dampers[J]. Engineering Structures,1998(20):193-204.

[4]谭平，卜国雄，周福霖. 带限位TMD的抗风动力可靠度研究[J]. 振动与冲击，2009,28(6):42-59.

TAN Ping, BU Guo-xiong, ZHOU Fu-lin. Study on wind-resistant dynamic reliability of TMD with limited spacing[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009,28(6):42-59.

[5]黄瑞新，李爱群，张志强等. 北京奥林匹克中心演播塔TMD风振控制[J]. 东南大学学报:自然科学版，2009,39(3):519-524.

HUANG Rui-xin, LI Ai-qun, ZHANG Zhi-qiang,et al.TMD vibration control of beijing olympic center broadcast tower under fluctuating wind load[J]. Journal of Southeast University:Natural Science Edition, 2009,39(3):519-524.

[6]欧进萍，王永富. 设置TMD、TLD控制系统高层建筑风振分析与设计方法[J]. 地震工程与工程振动，1994,14(2):61-75.

OU Jin-ping, WANG Yong-fu. Wind induced vibration analysis and design methods of tall buildings with tuned mass dampers or tuned liquid dampers[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 1994,14(2):61-75.

[7]李春祥，刘艳霞,王肇民. 质量阻尼器的发展[J]. 力学进展，2003,33(2):194-206.

LI Chun-xiang, LIU Yan-xia, WANG Zhao-min. A review mass dampers[J]. Advances in Mechanics, 2003,33(2):194-206.

[8]李创第，黄天立，李暾,等. 带TMD结构随机地震响应分析的复模态法[J]. 振动与冲击，2003,22(1):36-39.

LI Chuang-di, HUANG Tian-li, LI Tun, et al. The complex modal methods for analysis of random earthquake response of structure with TMD[J]. Journal of Vibration and Shock, 2003,22(1):36-39.

[9]Soong T T, Dargush G F. Passive energy dissipation systems in structural engineering[M]. John Wiley&Sons Chichester,New Yark: l 997.

[10]张俊平,禹奇才,周福霖. 结构振动控制的两个理论问题[J]. 地震工程与工程振动，2000,20(1):125-129．

ZHANG Jun-ping, YU Qi-cai, ZHOU Fu-lin. Two theoretical problems in structural vibration control[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2000,20(1):125-129．

[11]张力. 导管架海洋平台冰激振动控制的实验研究[D]. 大连:大连理工大学, 2008.

[12]葛晓明, 范存新, 刘雯彦. TMD参数对高耸结构风振控制的影响[J]. 世界地震工程，2001,17(2):123-127．

GE Xiao-ming, FAN Cun-xin, LIU Wen-yan. Effect of TMD parameters on the wind vibration control of high rise buildings[J]. Word Information on Earthquake Engineering, 2001,17(2):123-127．

[13]瞿伟廉, 陶牟华, CHANG C C. 五种被动动力减振器对高层建筑脉动风振反应控制的实用设计方法[J]. 建筑结构学报，2001, 22(2): 30-34．

QU Wei-lian, TAO Muhua, Chang C C. Practical design method for effect of five kings of passive dynamic absorbers on fluctuation wind-induced vibration response control of tall buildings[J]. Journal of Building Structure, 2001, 22(2): 30-34．

[14]Luft R W.Optimal tuned mass dampers for buildings[J].Journal of the Structural Division(ASCE),1979,105(12):2766-2772．