顺势而为构造相似

□高峰

顺势而为构造相似

□高峰

解决与相似三角形有关的问题时，有时图形中并不存在相似三角形，需要构造出相似三角形.下面举例予以说明.

一、根据条件，顺势构造

例1如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）.

A.2B.3C.5D.6

图1

分析：连接EF交AC于O.由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE＝OF，由于四边形ABCD是矩形，AB∥CD，证得△CFO≌△AOE，得到AO＝CO，求出AO＝根据△AOE∽△ABC，即可得到结果.

解：连接EF交AC于O.

∵四边形EGFH是菱形，

∴EF⊥AC，OE＝OF.

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，

∴∠ACD＝∠CAB，

∵∠FOC＝∠AOE，

∴△CFO≌△AOE，

∴AO＝CO.

∵∠CAB＝∠CAB，

∠AOE＝∠B＝90°，

∴△AOE∽△ABC，

∴AE＝5.故选C.

点评：本题要求AE的长，而Rt△ABC的三边已知，自然想到过点E作AC的垂线，构造相似三角形，利用对应边成比例求解.因为四边形EGFH是菱形，则连接EF交AC于O，自然得到垂线.

二、根据图形，顺势构造

例2（1）如图2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°，求AD的长.

图2

图3

（2）如图3，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长.

分析：（1）连接BE，证明△ACD≌△BCE，得到AD＝BE，在Rt△BAE中，AE＝3，求出BE，得到答案；

解：（1）如图2，连接BE.

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACB＋∠ACE

＝∠DCE＋∠ACE，

即∠BCE＝∠ACD.

又AC＝BC，DC＝EC，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE.

∵∠BAC＝∠CAE＝45°，

∴∠BAE＝90°.

在Rt△BAE中，

∴BE＝9，∴AD＝9.

（2）如图3，连接BE.

在Rt△ACB中，

∠ABC＝∠CED＝30°，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠BCE＝∠ACD，

∴△ACD∽△BCE，

∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，

∴∠BAE＝90°，

又AB＝6，AE＝8，∴BE＝10，

点评：全等是相似的特殊情形，所以构造全等与构造相似常常会有相同之处.本题已知AC与所求的AD在△ACD中，观察图形，能与△ACD相似的三角形没有，自然想到构造与之相似的三角形.而根据平时的经验，此图中有两个共顶点且相等的角，即∠ACB＝∠DCE＝90°，从而想到将△ACD绕点C旋转可得到相似三角形，进而得到解本题的辅助线.

三、根据所求，顺势构造

例3如图4，已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A、B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连结DE交AC于点F.若记且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值.

图4

分析：过点D作DG∥BC，可得△ADG∽△ABC，△DGF∽△ECF，再根据相似三角形对应边成比例，并利用AD＝EC（因D、E的运动速度相等）进行代换后即可求出结果.

解：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图4.则有

△ADG∽△ABC，

△DGF∽△ECF.

又因为D、E的运动速度相等，则有AD＝EC.