“微元法”在含电容器电路中的应用

李峰 石有山

高中物理中用到的“微元法”是从数学微积分中移植过来的方法，它是把研究对象分割成无限多个无限小的部分，或把物理过程分解成无限多个无限短的过程，抽取其中一个微小部分或极短过程加以研究的方法。运用“微元法”求解电磁感应与含电容器电路的综合问题时，往往可以将变量转化为常量，将非理想模型转化为理想模型，使复杂问题变得简单易解。

例1如图1所示，水平放置的光滑平行导轨处于垂直于水平面向下（垂直于纸面向里）的匀强磁场中，磁感应强度为B，导轨间距为L，导轨左端接有电容为c的电容器，金属棒ab垂直于导轨放置，其质量为m，电阻为R（导轨电阻不计，且足够长）。现有恒力F作用在金属棒上，若电容器的耐压值为U，则：

（1）当金属棒的速度为v时，求电容器所带的电荷量。

（2）若要求电容器不被烧坏，则金属棒运动的最长时间为多少？

解析：（1）当金属棒的速度为v时，金属棒切割磁感线产生的感应电动势E=BLv，电容器两端的电压U1=E，根据Q=CUl可得，电容器所带的电荷量Q—CBLv。

（2）取极短时间△t，则金属棒的速度变化量为Av，因此电容器所带电荷量的变化量

点评：本题中金属棒做单向的匀加速直线运动，利用微元法求得金属棒的加速度是解决问题的关键。

侧2如图2所示，水平面内有两根足够长的平行导轨L1、L2，其间距d=O.5m，导轨左端接有电容c=2 000 uF的电容器。质量m=20g的导体棒可在导轨上无摩擦地滑动，导体棒和导轨的电阻不计。整个空间存在垂直于导轨所在平面向下（垂直于纸面向里）的匀强磁场，磁感应强度B=2T。现用一沿导轨方向向右的恒力F1=O.44 N作用在导体棒上，使导体棒从静止开始运动，经时间t后到达B处，速度变为v=5m/s。此时，突然将拉力方向变为沿导轨方向向左，大小变为F2，又经时间2￡后导体棒返回到初始位置A处。在整个过程中电容器未被击穿。求：

点评：外力反向时，导体棒的运动状态要发生变化，当导体棒沿原方向做减速运动时，电容器放电，当导体棒沿反方向做加速运动时，电容器充电，但电流方向不变，导体棒所受安培力方向不变，因此在外力反向的全过程中导体棒均做匀变速运动。

如图3所示，两条平行导轨所在平面与水平地面间的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为c。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，金属棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为u，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：