具有复阶的近于凸函数子族的系数估计

范臣君, 秦 川, 李小飞

( 1. 长江大学 工程技术学院, 湖北 荆州 434020; 2. 长江大学 信息与数学学院, 湖北 荆州 434000; 3. 澳门大学 数学系, 中国 澳门 999078)

具有复阶的近于凸函数子族的系数估计

范臣君1, 秦 川1, 李小飞2,3

( 1. 长江大学 工程技术学院, 湖北 荆州 434020; 2. 长江大学 信息与数学学院, 湖北 荆州 434000; 3. 澳门大学 数学系, 中国 澳门 999078)

复阶; 近于凸函数; 从属; Salagean算子

1 预备知识

本文用C表示复数集,C0=C{0}表示非零复数集,N表示正整数集,N0表示非负整数集,N*=N{1}.记A表示单位圆盘U={z∈C:|z|<1}内形如下式的解析函数族

(1)

设f(z)和g(z)在U内解析,称f(z)从属于g(z),记作f(z)g(z),若存在U内的Schwarz函数ω满足ω(0)=0,|ω(z)|<1,使得f(z)=g(ω(z)).特别地,若g在U内单叶,上述从属关系等价于f(0)=g(0),f(U)⊂g(U).用S*(γ)、C(γ)、K(γ)、Q(γ)分别表示A中的γ阶(γ∈C0)的星象函数族、凸函数族、近于凸函数族、拟凸函数族(见文献[1-8]).对于f(z)∈A,G. S. Salagean[9]定义了一类Salagean微分算子Dn(n∈N)如下

D0f(z)=f(z),D1f(z)=Df(z)=zf′(z),…,

Dnf(z)=D(Dn-1)f(z).

经计算

记h:U→C为正规的正实部凸函数族,即h(0)=1,Re{h(z)}>0.H. M. Srivastava等[10]引入了一类γ阶解析函数类S(λ,γ,A,B)定义如下

S(λ,γ,A,B)={f(z):f(z)∈A,

并对函数类S(λ,γ,A,B)的系数进行了估计.Q. H. Xu等[11]在函数类S(λ,γ,A,B)的基础上定义了函数类Sh(λ,γ)如下

Sh(λ,γ)={f(z):f(z)∈A,

h(U),0≤λ≤1,γ∈C0}.

h(U),0≤λ≤1,γ∈C0}.

最近,C. Selvaraj等[13]利用Salagean算子定义了函数类CV(n,γ,g)如下

CV(n,γ,h)={f(z):f(z)∈A,

h(U), 0≤λ≤1,γ∈C0.

注意到,若取h(z)=(1+z)/(1-z),那么

KQh(0,0,γ)=K(γ), KQh(0,1,γ)=Q(γ).

h(U), 0≤λ≤1,γ∈C0.

h(U), 0≤λ≤1,γ∈C0.

定义 1.3 称f(z)∈Mh(n,λ,γ;μ),若f(z)满足下面的Cauchy-Euler型非齐次微分方程[19-22]

(1+μ)(2+μ)h(z),

(2)

其中,w=f(z),h(z)∈TQh(n,λ,γ),μ∈R(-∞,-1].

2 主要结论

为了得到本文的结论,需要用到下面引理.

|Cj|≤|B1|,j∈N.

F(z)=[(1-λ)Dnf(z)+λDn+1f(z)]′,

则有

经简单计算得到

其中

Aj=(1+(j-1)λ)jn+1aj,j∈N*.

现记

(3)

经计算,p(0)=h(0)=1,且p(z)∈h(U),因此p(z)h(z).由引理2.1知

(4)

将(3)式变形得

zF′(z)=γF(z)(p(z)-1).

(5)

现设p(z)=1+p1z+p2z2+…,z∈U,其中,pm=p(m)(0)/m!,m∈N.因为A1=1,由(5)式知

比较两边zj-1的系数得

(j-1)Aj=

γ(p1Aj-1+p2Aj-1+…+pj-1A1),

(6)

联合(4)和(6)两式,取j=2,3,4,得

|A2|≤|h′(0)||γ|,

|A3|≤|h′(0)||γ|(1+|h′(0)||γ|)/2!,

|A4|≤|h′(0)||γ|(1+|h′(0)||γ|)×

(2+|h′(0)||γ|)/3!,

应用数学归纳法容易得到

因此

定理 2.3 若由(1)式表示的函数f(z)∈TQh(n,λ,γ),则有

F(z)=[(1-λ)Dnf(z)+λDn+1f(z)]′=

G(z)=[(1-λ)Dng(z)+λDn+1g(z)]′=

其中

Aj=(1+(j-1)λ)jn+1aj,

Bj=(1+(j-1)λ)jn+1bj,

则由定义知

令

即

zF′(z)=γG(z)(p(z)-1).

(7)

设p(z)=1+p1z+p2z2+…,z∈U,因为B1=1,由(7)式知

比较两边zj-1的系数得

即

因此

定理 2.4 若由(1)式表示的函数f(z)∈Mh(n,λ,γ;μ),则有

|aj|≤

证明 由于f(z)∈Mh(n,λ,γ;μ),则存在

满足(2)式,对(2)式两边变形得

(8)

由(8)式和定理2.4得

|aj|≤

致谢 长江大学工程技术学院科技创新基金(15J0802)对本文给予了资助,谨致谢意.

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2010 MSC：30C45

(编辑 李德华)

Coefficient Estimates for Subclasses of Close-to-convex Functions with Complex Order

FAN Chenjun1, QIN Chuan1, LI Xiaofei2,3

( 1. College of Engineering and Technology, Yangtze University, Jingzhou 434020, Hubei; 2. Faculy of Information and Mathematics, Yangtze University, Jingzhou 434000, Hubei; 3. Department of Mathematics, University of Macau, Macau 999078, China

complex order; close-to-convex; subordinary; Salagean operater

2016-07-15

国家自然科学基金(61503047)和湖北省自然科学基金(2013CFAO053)

范臣君(1984—),男,讲师,主要从事泛函分析与最优化理论的研究,E-mail:fcjun0222@163.com

O174.51

A

1001-8395(2016)06-0865-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.017