一类双险种离散风险模型的破产概率

张梦瑶　宿婧

【摘 要】本文讨论在保费随机收取的情况下索赔额都是复合二项过程的双险种风险模型，得到了该模型的期望罚金函数及其破产概率所满足的积分方程，有限时间内破产概率的递推公式。

【关键词】风险模型；期望罚金函数；破产概率

The ruin probability for a discreet risk model of a double type insurance

ZHANG Meng-yao XU Jing

（School of Dalian Institute of Science and Technology， Dalian Liaoning 116052， China）

【Abstract】In this paper， we discusses the risk model with two independent classes of insurance business when the premium random income and arrival processes of the claims are all described by binomial processes. We will obtain expected penalty function of this model and integral equation satisfied by ruin probability， recursion formulas of the ruin probability in finite time.

【Key words】Risk model； Expected penalty function； Ruin probability

0 引言

经典风险模型[1-3]研究的是单一险种风险过程，随着时代的发展，保险公司的规模不断扩大，经营单一险种已不能满足实际需求，因此多险种风险模型[4-5]逐渐成为人们研究的热点。文献[6]讨论了双险种风险模型并得到了相关结论，但讨论的保费收入为时间的线性函数具有局限性。从保险公司的经营安全角度来说保险公司常常最关注的是破产概率，破产前和破产后的盈余的分布，引起破产索赔量的分布等。因此本文在文献[7]的基础上讨论一类在保费到达计数过程为二项分布且保费收入为常数的情况下，索赔额都是服从复合二项分布的双险种风险模型，得到该模型的罚金函数及其破产概率满足的积分方程，有限时间内破产概率和破产时刻的递推公式。

1 模型概述

假设保险公司在n时刻的盈余可表示为：

其中：

（1）u≥0为保险公司的初始资本；M（n）是一个二项过程表示保险公司在n时刻保费到达计数过程且M（0）=0，我们假设有保费收入的概率为p，没有保费收入的概率为q，其中0

（2）N1（n）是服从参数为（n，p1）的二项序列，表示保险公司在[0，n]的时间段险种1索赔的次数，{Xk，k≥1}为非负独立同分布的正整数值的随机变量序列，表示险种1第k次的索赔量，其分布函数为H（x）。

（3）N2（n）是服从参数为（n，p2）的二项序列，表示保险公司在[0，n]的时间段险种2索赔的次数，{Yi，i≥1}为非负独立同分布的正整数值的随机变量序列，表示险种2第i次的索赔量，其分布函数为Q（y）。

（4）假设M（n），N1（n），N2（n），{Xk，k≥1}，{Yi，i≥1}相互独立。

V（n）=u-U（n），W（n+1）=U（n+1）-U（n），其中W（n+1）和{U（n），n∈N+}相互独立，与V（1）同分布。

最后我们介绍罚金折现函数，注意当破产发生时，Ut表示破产时的赤字而UT-1表示保险公司在破产前一时刻的资本盈余，则罚金函数为：

这里v为折现因子，本文讨论当折现因子v=1的情况，I（A）表示事件A的示性函数，而w（i，j）：N×N+→N为一个非负有界函数。

2 主要结果

得到折现罚金函数及其破产概率满足的积分方程，有限时间内破产概率和破产时刻的递推公式。

定理1：罚金函数m（u）满足的积分方程为：

结合（3）～（10）式可以得到（2）式。

定理证毕。

推论1：在m（u）中取w（i，j）≡1，于是m（u）=？鬃（u），于是最终破产概率？鬃（u）满足积分方程。

例2：索赔额都是指数分布的破产概率递推公式

根据定理结合（14）和（17）我们会得到破产概率的递推公式。

【参考文献】

[1]Grandel J. Aspects of Risk Theory[M].New York：Springer-Verlag，1991.

[2]Asmussen S.Ruin Probabilities[J].Singpore：World Scientific，2006.

[3]Gerber H U.Mathematical fun with the compound binomial process[Z].ASTIN Bulletin，1998，18（2）：161-168.

[4]方世祖，张春梅，王志攀.带干扰的多险种离散风险模型的破产概率[J].广西大学学报：自然科学版，2007，32（3）：282-284.

[5]吕伟春，陈新美.常利率下带干扰的双险种风险模型[J].湖南文理学院学学报，2010，22（1）：7-9.

[6]蒋志明，王汉兴.一类多险种风险过程的破产概率[J].应用数学与计算数学学报，2000，14（1）：11-15.

[7]方世祖，陈流红，郭梦丹，等.离散时间的双险种风险模型研究[J].广西科学学院学报，2015，31（1）：54-58.

[责任编辑：王楠]