函数及其性质探究

王艺润

摘 要：函数是高中数学学习的一个重要组成部分，对我们的逻辑思维能力和分析能力都有一定的考查。而函数，作为数学学科中一个重要的基本组成部分，可以说，函数知识的学习贯穿整个数学学习过程。函数作为高等数学的一个重要概念，同时起到了承接高中数学学习与大学数学学习的作用。本文通过对高中数学学习中函数性质的讨论，进一步展开阐述了函数的性质与意义，体现了函数学习的重要意义。

关键词：函数性质；周期性；奇偶性；对称性

一、函数的概念

函数（function），最初的定义是在十七世纪，著名数学家莱布尼茨，首次使用“function”（函数）一词来表示“幂”，后来一直沿用该词表示曲线上点的横、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量，后演变为现代的函数概念。中国关于函数的概念始于中国近代著名数学家李善兰，他在其著作《代数学》中首次将函数概念的function译为函数，他称之为“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，用以解释函数指的是一个量随着另一个量的变化而变化的概念。

1.函数的定义

按照现代课本上的定义：假设A，B是两个非空的数集，如果按照一定的对应关系，设为f，有集合A中的任意一个数x，在集合B中都能找到唯一确定的数y和x对应，那么就称f ： A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A或

f（A）={y | f（x）=y，y∈B}。其中x被称作自变量，y被称为因变量，集合A是函数的定义域，与x相对应的y叫作函数值，函数值的集合{f（x） | x∈A}称为函数的值域。

定义域，值域和对应法则是我们常说的函数三要素。一般表示为y=f（x），x∈D。

2.函数的表示方法

2.1解析式法。这是我们计算和解题中最常使用的一种函数表达方法。即使用相应的数学关系的等式去表示题中两个变量之间的函数关系。如f（x）=a0+∑ancos

+bn sin

或简单的f（x）=ax+b。其优点在于可以简明、准确、清楚地表示出函数的数量关系；但缺点是需要经过复杂的运算才能得到对应值，并且在实际问题中，有些函数关系并不一定可以用表达式表示出来。

2.2列表法。即用列表的方式来表示两个变量之间的对应关系。优点在于通过表格，已知自变量的值和与之对应的函数值一一对应，一目了然；缺点在于只能列出部分对应值，不能体现函数的全貌。

2.3图象法。是将函数的自变量与因变量的值分别作为横坐标和纵坐标，然后在直角坐标系内描出它的对应点，这些点组成的图形就叫做该函数的图象。

2.4语言叙述法。即使用简单通俗的语言文字进而描述函数的关系。

二、函数的性质

1.奇偶性

若对于函数的定义域内任意x都有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数；相反的若对于函数f（x）定义域内的任意X都有f（-x）=f（x），就称f（x）为偶函数。一般的，若函数f（x）不具有上述两种性质，则f（x）不具有奇偶性。同样的，函数也可以同时具有上述的两种性质，则f（x）既是奇函数，又是偶函数。

2.单调性

设函数y=f（x）的定义域为A，那么若对于定义域A内的某个区间B内的任意两个自变量x1，x2，当x1

⑶f（x）是以2x1（x1≠0）为周期的周期函数。以其中任意两个论述为条件，另一个论述为结论进行证明。

证明：（1）、（2）（3）

由f（x）是奇函数f（-x）=-f（x），且f（x）的图象关于点（x1，0）对称。

有f（x1+x）=f（x1-x）

又f（2x1-x）=-f（x）

可得f（2x1-x）=f（-x），并推出f（2x1+x）=f（x）

故函数f（x）是以2x1为周期的函数。

（1）、（3）