一类利用卷积定义的p叶解析函数类的系数边界

李 静

一类利用卷积定义的p叶解析函数类的系数边界

李 静

(江汉大学文理学院，湖北武汉430056)

卷积是研究解析函数的有效工具，对于解析函数的系数研究起到很大的作用．利用卷积定义了一类在单位圆盘U={z∈C:|z|＜1}内的p叶解析函数类MDδ，pa，c(λ，b，α，β)，利用正实部函数族的系数性质，得到了它的全体系数边界，同时推广了一些常用的结论．

卷积;算子;系数;星象函数;凸函数

1 预备知识

设A(p)表示单位圆盘U={z∈C:|z|＜1}内具有泰勒级数

f(z)与g(z)的卷积定义为

R．M．Goel等［2］定义了线性算子

其中

其中

经计算得:

为了叙述方便，下文记

近期对于上述相关算子的研究，可以参看文献［7－16］．另外，还注意到

且

下面是一些特殊的函数类:

2 主要结论

引理1［23］若h(z)=1+c1z+c2z2+…(z∈U)为正实部解析函数，即Rh(z)＞0，则|ck|≤2，k=1，2，…．

则

移项得

即

由于≤α≤β，易知0≤ξ＜1，所以

其中，η =(1－β)cos λ+i(1－α)sin λ．

定义函数p(z)满足等式

其中p(z)在U内解析且p(0)=1，Rp(z)＞0．现记

将(7)式代入(6)式得

将上式进行变形得到

利用(3)式得

即

比较上式2边项zn+p－1的系数得

利用引理1得

下面用数学归纳法证明结论．在(8)式中令n =2得

这就证明了(4)式．令n=3，并利用(9)式得

假设(5)式对n=k成立，即

当n=k+1时有

这就证明了(5)式．

推论1［19］设f(z)∈SD(α，β)，则

证明 在定理2中令a=c，δ=0，p=1，λ= 0，b=2．

推论2 设f(z)∈S*(β)，则

证明 在推论1中令α=0．

推论3［20］设f(z)∈KD(α，β)，则

证明 在定理2中令a=c，δ=1，p=1，λ= 0，b=1．

推论4 设f(z)∈K(β)，则

证明 在推论3中令α=0．

定理3 设f(z)∈A(p)由(1)式定义，若满足下面不等式

证明 为简便起见，记

则要证明的结论即为

利用(3)式，经计算得

由于

所以

结合(11)式，如果(12)式的最后一个式子有上界1，即

上式经整理得

此式即为(10)式．此时由(12)式有

推论5［24］设f(z)∈A(p)由(1)式定义，若满足下面不等式

则f(z)∈Sp*(β)．

证明 在定理3中令a=c，δ=－p+1，λ= 0，b=2，α=0．

推论6［25］设f(z)∈A(1)由(1)式定义，若满足下面不等式

则f(z)∈S*(β)．

证明 在推论5中令p=1．

推论7［24］设f(z)∈A(p)由(1)式定义，若满足下面不等式

则f(z)∈Kp(β)．

证明 在定理3中令a=c，δ=－p+2，λ= 0，b=1，α=0．

推论8［26］设f(z)∈A(1)由(1)式定义，若满足下面不等式

则f(z)∈S*(β)．

证明 在推论5中令p=1．

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Coefficient Bounds for a Subclass of p-valent Analytic Functions by Convolution

LI Jing

(College of Arts and Sciences，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei)

Convolution is an effective tool to study analytic functions，which plays a significant role in the study of the coefficient of analytic functions．In this paper，a subclass(λ，b，α，β)of p-valent analytic functions defined by convolution in the open disc U ={z∈C:|z|＜1}is introduced．The aim of the paper is to study all coefficient bounds of the above class with coefficient properties of real part functions．Many known results are generalized．

convolution;operator;coefficient;starlike function;convex function

O174．51

A

1001－8395(2016)05－0686－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．013

(编辑 余 毅)

2015－09－25

湖北省教育厅规划课题(2014B354)

李 静(1984—)，女，讲师，主要从事应用数学的研究，E－mai:2935788547@qq．com

2010 MSC:30C45