一种基于Lü系统的混沌信号幅度控制方法

沈怡然

(杭州电子科技大学电子信息学院，浙江 杭州 310018)



一种基于Lü系统的混沌信号幅度控制方法

沈怡然

(杭州电子科技大学电子信息学院，浙江 杭州 310018)

摘要：基于Lü系统提出了一种保持恒定Lyapunov指数的混沌信号幅度控制方法.分析了3种不同情况下的幅度控制，通过检查受控Lü系统的动力学特性，证明了引入的控制函数可以控制信号幅度，同时不改变系统的Lyapunov指数谱.该幅度控制方法既实现了信号幅度可控，又不改变系统的Lyapunov指数，可应用于含有二次方项的混沌系统方程组.

关键词：混沌；Lü系统；Lyapunov指数

0引言

当前，对混沌信号幅度控制方法的研究主要应用于保密通信中混沌系统的同步.文献[1]提出了通过分析Lyapunov指数研究混沌系统同步的方法，文献[2-5]分别研究了Lü系统的同步问题.在研究系统的同步过程中，如果能够通过控制混沌信号幅度的方法实现同步，将大大简化系统的硬件.其中，文献[6]给出了一种幅度控制方法以实现混沌同步，该方法在系统方程中引入反馈系数和反馈函数，从而达到控制混沌信号的幅度的目的.文献[7-13]在研究混沌同步问题的同时，提出了恒定Lyapunov指数谱下若干混沌系统的幅度控制方法，这些混沌系统一般具有绝对值项.2013年，文献[14]又专门提出了应用于经典Lorenz系统的具有恒定Lyapunov指数谱的幅度控制方法.本文针对Lü系统提出了一种具有恒定Lyapunov指数谱的幅度控制方法.方法通过在系统的二次项前引入控制函数来实现幅度控制.这种方法可应用于混沌系统同步的实现，也可以用来产生幅度受控的混沌PN序列.

1幅度控制方案

混沌通信中，希望能够用已知函数控制混沌方程组中相应变量(信号)的幅度，在发送混沌信号时对其进行幅度调制，而在接收信号时，也能以可控的方式(反函数)进行解调.从而为实现混沌同步提供条件.本文分析了3种幅度控制方案，分别为：

1)在混沌方程组中，用f(m)与xy相乘，来控制x和y这2个变量的幅度，同时保持变量z不变；

2)在混沌方程组中，用f(m)分别与xz和xy相乘，来控制x，y和z这3个变量的幅度；

3)在混沌方程组中，用f(m)和g(n)的组合与相关项相乘来控制变量x，y，z的幅度.

1.1方案1

Lü系统的状态方程如下：

(1)

发生混沌的典型参数值是a=36，b=20，c=3.为了实现幅度控制，在第3个方程的二次项前引入控制函数，记为f(m)，修改后的Lü系统变为：

(2)

(3)

可以看出以上方程和原始的Lü系统方程一致.因此，f(m)控制变量x，y的同时能保持变量z不变.

接下来检查系统(2)的几个动力学特性.对于系统(2)，其状态空间的体积收缩可以表示为，可以看出，当f(m)变化时，这一值不变.令以及，得到系统(2)的3个平衡点P1=(0,0,0)=(0/β,0/β,0)，P2=(α/β,α/β,ω)，P3=(-α/β,-α/β,ω)，可以看出，控制函数以相同的方式沿x轴和y轴移动平衡点，同时不改变平衡点的z轴坐标.

式(2)的雅可比矩阵为：

(4)

式(4)的特征方程为：

λ3+(a-b+c)λ2+(ac-bc-ab+f(m)x2+az)λ+af(m)x2+af(m)xy+acz-abc=0.

(5)

实践当中，控制函数由电位计实现，不同的控制方法将导致不同的控制函数.如果选择最简单的线性函数f(m)=m作为控制函数，相应的最大x，最小x，最大y，最小y，最大z，最小z随m的变化如图1(a)所示.当f(m)=m时，系统(2)的幅度控制图如图1所示.从图1(b)中可以看出，Lyapunov指数谱在m变化时是保持恒定的.

图1　f(m)=m(m∈[0.1,20.1])，初始条件(x0;y0;z0)=(0;1;0)时，系统幅度控制图

为了便于比较，将控制函数改为f(m)=em.将m限制在[-2,2]，得到幅度控制图如图2所示.可以看到，尽管信号幅度改变了，Lyapunov指数仍保持不变.

图2　f(m)=em(m∈[-2,2])，初始条件(x0;y0;z0)=(0;1;0)时，系统幅度控制图

1.2方案2

考虑用1个函数控制3个变量.方法是将f(m)同时作用于2个二次方项：

(5)

通过这种方法，用1/f(m)控制3个变量x，y，z，同时保持Lyapunov指数恒定.

令u=x/f(m)，v=y/f(m)，w=z/f(m).可以看出在这种变化下，方程组不变，因此，控制函数通过1/f(m)控制3个变量.f(m)可以是任何函数，但是不能为零，否则变量的幅度变为无界.

式(5)的雅可比行列式为：

(6)

式(6)的特征方程为：

λ3+(a-b+c)λ2+(ac-bc-ab+f(m)2x2+azf(m))λ+af(m)2x2+af(m)2xy+acf(m)z-abc=0.

(7)

通过坐标沿x轴，y轴，z轴移动，抵消了控制函数.在坐标变换u=x/f(m)，v=y/f(m)，w=z/f(m)下，特征根保持不变，因此，Lyapunov指数谱也不变.

如果选择最简单的线性函数f(m)=m作为控制函数，最大x，最小x，最大y，最小y，最大z，最小z随m变化如图3(a)所示，同时图3(b)计算了系统(5)的Lyapunov指数谱.可以看到，Lyapunov指数谱保持不变.

图3　f(m)=m，m∈[-4,6]，初始条件(x0;y0;z0)=(0;1;0)时，系统幅度控制图

为了便于比较，把控制函数变为f(m)=em.将参数m限制在[-2,2]，得到类似图3的图4.可以看到尽管信号幅度改变了，Lyapunov指数仍然保持不变.

图4　f(m)=em，m∈[-2,2]，初始条件(x0;y0;z0)=(0;1;0)时，系统幅度控制图

1.3方案3

方案3通过f(m)和g(n)控制变量x，y，z的幅度.

通过1个函数控制2个变量，如x和y，同时通过另外1个函数控制第3个变量z.在系统(1)的二次方项前引入2个控制函数f(m)和g(n)，得到如下方程组：

(8)

式(8)的雅可比矩阵为：

(9)

式(8)的特征方程为：

λ3+(a-b+c)λ2+[ac-bc-ab+f(m)(f(m)+g(n))x2+azf(m)]λ+af(m)(f(m)+g(n))x2+af(m)(f(m)+g(n))xy+acf(m)z-abc=0.

(10)

图5　f(m)=1/m,g(m)=em，m∈[0.1,10.1]，初始条件(x0;y0;z0)=(0;1;0)时，系统幅度控制图

2结束语

本文通过在二次项前引入控制函数的方法，给出了基于Lü系统的混沌信号幅度控制方法，详细讨论了3种不同情况下的幅度控制方法并分析了相应系统的动力学特性.这种幅度控制方法的关键在于既实现信号幅度可控，又不改变系统的Lyapunov指数.广泛应用于混沌保密通信中.

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[11]李春彪,王翰康,陈谡.一个新的恒Lyapunov指数谱混沌吸引子与电路实现[J].物理学报,2010,59(2):783-791.

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A Chaotic Signal Amplitude Control Method Applied to Lü System

SHEN Yiran

(SchoolofElectronicInformation,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Abstract：In this paper, a method of amplitude control over chaotic signals is applied to Lü system. Three different scenarios are fully discussed and analyzed. By examining the dynamical properties of the modified Lü systems in detail, we prove that wherever control functions are introduced, the amplitude of the chaotic signals can be controlled without changing the Lyapunov exponent spectrum chaotic system equations containing square terms can be applied to this method.

Key words：chaos; Lü system; Lyapunov exponent

DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2016.02.003

收稿日期：2015-06-25

作者简介：沈怡然(1979-)，男，浙江杭州人，助理实验师，非线性电路与智能信息处理.

中图分类号：O415.5

文献标识码：A

文章编号：1001-9146(2016)02-0013-05