二维非更新产品延长保证策略研究

于　俭，汪竹杏，李　晓，李欢欢

(1.杭州电子科技大学管理学院，浙江 杭州 310018；2.西子奥的斯电梯有限公司市场部，浙江 杭州 310019)



二维非更新产品延长保证策略研究

于俭1，汪竹杏1，李晓1，李欢欢2

(1.杭州电子科技大学管理学院，浙江 杭州 310018；2.西子奥的斯电梯有限公司市场部，浙江 杭州 310019)

摘要：本文通过构建产品保证模型并进行数值处理分析，研究在基本保证期内和延长保证期内分别使用最小维修策略(MR)、预防性维修策略(PM)、不完全最小维修策略(IMR)、完全最小维修策略(CMR)等混合策略对产品利润和期望保证费用的影响，其研究表明：基本保证期分别使用MR和PM策略后，其延长保证期内采用MR、IMR策略只适合短期和长期的产品保证，而在延长保证期内使用CMR、PM策略只适合中期的产品保证.

关键词：延长保证；故障率；保证成本；利润

0引言

产品保证(Product Warranty, PW)是厂商与消费者之间的契约性责任关系[1].二维产品保证是通过设立产品使用时间限额的保证值域和使用率的限额保证值域明确可实施的保证范围[1].不可更新产品保证策略是指产品责任关系仅涉及最初的保证时期，许多保证策略都是这种方案[1-2].目前制造商使用的产品维修方式主要为：最小维修(Minimal Repair, MR)、不完全维修(Imperfect Repair, IR)、完全维修(Complete Repair, CR)以及预防性维修(Preventive Maintenance, PM)4种.MR是指修复故障产品时不改变产品性能，仅修复或替换问题零部件；IR是指修复故障产品时可能改进产品性能，使产品恢复良好状态；CR是通过维修使产品完全达到新产品性能状态；PM为定期采取预防性的检查与维修[3-4].不完全最小维修(Imperfect Minimal Repair, IMR)是指在前后IR之间开展的所有修理活动都是MR[5]，完全最小维修(Complete Minimal Repair, CMR)是指在前后CR之间开展的所有修理活动都是MR[5]，IMR和CMR皆为联合维修策略.

产品保证可分为基本保证和延长保证两种方式，基本保证(Basic Warranty, BW)随产品一同销售给客户，延长保证(Extended Warranty, EW)是指用户自愿决定是否购买保证延长期的保证内容[3].文献[3]以客户视角建立基本保证以及延长保证策略下产品生命周期成本.文献[4]研究在基本保证阶段和延长保证阶段中采用或不采用PM对产品保证成本的影响.文献[5]针对不同的产品保证目的，分别计算延长保证阶段采用MR、IMR以及CMR时的保证成本，获得采用这样策略可在降低产品使用故障率的同时减少产品保证费用，但未对PM策略开展研究.文献[6]基于降低产品故障强度，考虑维修的定期性和随机性两个方面，研究了IMR这种组合维修方式可以降低产品保证服务的总成本.文献[7]根据产品的使用时间和使用率建立关于产品失效过程、不完全PM的效果及相应服务成本的模型，在延长保证期采用适当的PM策略，可以有效地降低延长保证的维修成本.文献[8]对汽车使用率研究构建二维产品保证故障模型，并通过MR与IR联合维修策略形成二维延伸性保证成本模型，并对汽车保证成本进行优化处理.本文在前人研究基础上，以制定合理可行的产品延长保证策略为目的，针对其未对各种产品保证策略影响期望保证成本和利润方面问题，建立二维非更新产品延长保证决策模型，计算产品期望利润和保证成本，探讨在基本保证期和延长保证期内分别采用MR，PM，IMR，CMR等不同维修策略后对产品期望利润和保证成本的影响.

1模型描述

本文将产品保证期限划分基本保证和延长保证两个阶段，又将WB、UB和WE、UE定义为基本保证的使用时间限度、使用限度和延长保证的使用时间限度、使用限度.当产品达到使用限u′或达到时间限度t′，基本保证结束进入延长保证.假定某一客户的产品使用率Y不变，而不同客户的使用率Y是可变的.相对于产品使用时间，维修时间很短可省略不计，即产品维修是快速发生[3]；使用率Y是随机变量，在值域Ω内产品使用率Y是不变的，取Y=y，而产品使用程度u与产品使用时间t呈线性关系，即u=yt，使用率Y可以通过伽马分布函数获得：

(1)

式中：α为尺度参数，β为形状参数.

(2)

(3)

Q=w1P-ψ1(w2+Wf)ψ2e-ψ3(1-ρ).

(4)

式中：P为产品计划价格，Wf为计划保证期，w1为振幅因子，w2为常数以确保在需求为零时无产品保证发生，ρ为保修比例，ψ1，ψ2和ψ3分别为价格弹性、保修期限弹性以及保修比例弹性.

2模型建立

本文所采用的二维非更新产品延长保证模型包括以下4方面假设：

1)产品各零部件故障是相互独立的；

2)与产品故障发生的平均间隔时间相比，产品维修时间可省略不计；

3)产品故障可通过一定方式立即检测到并快速修复；

4)产品保证费用由生产商完全支付.

2.1基本保证

2.1.1最小维修(MR)

假设Cmin为每一次产品故障的最小维修成本，其基本产品保证费用为：

(5)

式中：ηi是判断产品是否处于基本保证期内的参数：

(6)

2.1.2预防性维修(PM)

若在最初基本产品保证时期出现PM时刻点分别为τ1,τ2,…,τn，共n(n≥0)次；第(j-1)次为修理后产品虚拟年龄vj-1；假定维修水平为m时，第j次维修之后产品虚拟年龄为vj=vj-1+δ(m)(τj-τj-1)，其中，δ(m)=(1+m)e-m.τj-1后故障率变为h(v(t);α(y))=h(vj-1+t-τj-1;α(y))，τj-1≤t<τj，当n=0时为最小维修，则基本产品保证成本为：

(7)

2.2延长保证成本

产品刚投入使用时发生故障较少，使用到一定程度后故障率增大，假设从L时刻开始产品发生故障增多，即进入磨损期，L为一随机数，通过相关的故障率可得出L点处的故障函数.采用最小二乘法估计最适分布函数，采用最大似然估计的假设检验来确定分布参数.分别对WE≤L和WE>L两种情况进行建模.如果基本保证阶段采用预防性维修，则基本保证结束时产品故障率变为h(vn+t-τn;α(y)).如果基本保证阶段采用最小维修，产品故障率h(x;α(y))不变，即n=0时，h(x;α(y))=h(vn+t-τn;α(y)).

2.2.1在磨损期之前(WE≤L)期望延长保证成本

(8)

其中，σi判断产品是否处于延长保证期内：

(9)

2.2.2在磨损期之后(WE>L)期望延长保证成本

通过分别采用MR，IMR，CMR以及PM这4种保证策略分析期望延长保证费用；假定维修时间为Tn，延长保证阶段共发生N次维修，F(Tn)和f(Tn)为相应的分布函数以及密度函数.

1)最小维修(MR).每次最小维修完成后产品的故障率不发生改变，延长保证成本为：

(10)

图1　不完全最小维修策略

取Cimp为产品的单次不完全成本，Cimp(θ(Tn))=Cmin+Dθ(Tn)a，其中a>1，D=C0-Cm. C0和Cm分别为θ(Tn)=0和θ(Tn)=1时Cmin的值.延长保证成本为：

Cmin(H(Tj+1;α(y))-H(Tj;α(y))-θ(Tj)(Tj+1-Tj)(h(Tj;α(y))-h(0;α(y)))]

(11)

3)完全最小维修(CMR).由于完全维修后产品性能与新产品相同，因此此时产品的故障率也与新产品的相同，如图2所示.

图2　完全最小维修策略

延长保证成本为：

(12)

4)预防性维修(PM).假设在整个产品保证阶段共发生(N+n)次预防性维修，每次预防性维修后产品故障率会发生改变，延长保证成本为：

(13)

2.3保证成本及利润分析

通过在基本保证阶段使用MR和PM后，再在延长保证阶段使用MR，IMR，CMR以及PM4种延长保证策略下计算保证成本及期望利润.

产品保证成本为基本保证成本与延长保证成本之和，即：

(14)

用P表示产品销售价格，CP为单个产品生产成本，则产品期望利润为：

J(ΩB,ΩE)=(P-CP)Q-ECW.

(15)

3数值计算

依据文献[9-10]，产品使用率服从α=16.71，β=3.54的伽马分布，每件产品售价128 000，盈利8 000，最小维修成本280，不完全维修成本700，完全维修成本1 000，预防性维修成本6.其它参数：w1=2.8×1010，w2=0.8，L=4，ψ1=1.04，ψ2=0.83，ψ3=0.25，ρ=0.75，θ(Tn)=0.7.基本保证使用时限WB=1a，使用限度UB=2(×104)，延长保证期限WE取值从1a到8a，步长为1a.依据式(1-14)计算结果如图3所示，依据式(15)，计算各种产品保证策略的期望利润结果如图4所示.

图3　产品保证成本

图4　产品期望利润

若产品保证期较短可导致因不能满足用户需求而缩小市场占有份额，产品保证期过长会导致额外保证成本的增加.图3、图4显示保证期开始时各种策略下保证成本及期望利润都相近，但在一定时期后发生较为明显的差别，这是由于每次出现MR后，产品使用故障率固定不变使保证延长期的产品出现故障机率增大.而IR、CR以及PM可以增强产品可靠性，还在某些范围内延长产品使用寿命.因此，延长保证中采用IMR、CMR以及PM的期望利润远大于单纯在基本保证期采用MR情况.

表1、表2分别表示在MR和PM基本保证策略后采用4种延长保证策略下产品期望利润，又通过以利润最大化为目的选择相关产品延长保证策略.

表1　基本保证MR策略后保证延长期不同维修策略出现期望利润

表2　基本保证PM策略后保证延长期不同维修策略出现期望利润

4结束语

制造商在市场竞争中应通过向消费者提供合理的保证延长期的维修策略可提高企业产品竞争力.依据本文研究可得以下结果：保证延长期维修策略、产品销售量、维修方式、保修期限等不同组合影响产品期望保证费用以及利润高低.基本保证阶段采用MR后，在延长保证期内采用MR适合延长保证期为1～2 a情况、CMR适合延长保证期为3～4 a情况、IMR适合延长保证期为5～8 a情况；基本保证阶段采用PM后，在产品延长保证期内，采用MR适合延长保证期为1～2 a情况，PM适合延长保证期为3～4 a情况，IMR适合延长保证期为5～8 a情况.

参考文献

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[2]于俭,毛春苗,陈相侄.不完全维修的二维产品保证成本[J].工业工程与管理,2010,15(4):57-61.

[3]WU S,LONGHURST P.Optimising age-replacement and extended non-renewing warranty policies in lifecycle costing[J].International Journal of Production Economics,2011,130(2):262-267.

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[10]李欢欢，二维非更新产品延长保证策略研究[D].杭州：杭州电子科技大学，2013.

Research on Two-dimensional Non-renewing Extended Warranty Policies for Products Sold

YU Jian1, WANG Zhuxing1, LI Xiao1, LI Huanhuan2

(1.SchoolofManagement,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China;2.MarketingDepartment,XiziOtisElevatorCo.,Ltd,HangzhouZhejiang310019,China)

Abstract：On the basis of the product warranty model and numerical analysis, we research on using the minimal repair(MR), preventive maintenance(PM), imperfect minimal repair(IMR), complete minimal repair(CMR) in the basic warranty period and extended warranty period to calculate the warranty cost and expected profit, it can be concluded that after the using MR, PM in the basic warranty period, adopting MR, IMR in the extended warranty period is true for the short term warranty and long term warranty respectively, using CMR, PM in the extended warranty period are applicable for the medium term warranty.

Key words：extended warranty; failure rate; warranty cost; profit

DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2016.02.021

收稿日期：2015-07-02

基金项目：国家自然科学基金资助项目(71171070)；教育部人文社会科学研究青年基金资助项目(14YJC630088)

作者简介：于俭(1963-)，男，江苏启东人，教授，产品保证与生产运作管理.

中图分类号：F224

文献标识码：A

文章编号：1001-9146(2016)02-0097-06