几种FFT加窗三次样条插值的间谐波检测方法的比较

陈　波,　徐　扬,　郑　鹏,　赵卫忠,　刘冬梅

(1.合肥工业大学 电气与自动化工程学院,安徽 合肥　230009; 2.江苏省电力公司检修分公司南京分部,江苏 南京　210000)

几种FFT加窗三次样条插值的间谐波检测方法的比较

陈波1,徐扬1,郑鹏2,赵卫忠1,刘冬梅1

(1.合肥工业大学 电气与自动化工程学院,安徽 合肥230009; 2.江苏省电力公司检修分公司南京分部,江苏 南京210000)

摘要:在非整周期采样的情况下,快速傅里叶变换(fast Fourier transform,FFT)存在较大的误差。文章通过在Matlab中对构造的信号模型进行仿真,比较了几种基于三次样条插值的加窗FFT算法的间谐波检测精度,并以Blackman-Harris窗三次样条插值FFT算法为例,对其进行了公式推导,得到了该算法信号频率、幅值和相位的计算公式。仿真结果表明,文中的几种基于三次样条插值的加窗FFT算法的间谐波检测精度较高,频率平均误差可达到0.02%以内,幅值平均误差可达到0.3%以内,有效地减小了非整周期采样对FFT的影响。

关键词:快速傅里叶变换;三次样条插值;Blackman-Harris窗;间谐波;谐波检测

非线性负荷的大量增加使得电力系统谐波污染日益严重[1-2]。大量存在在电网中的间谐波会对电能质量以及供电可靠性带来不利影响,因此,在进行电力系统谐波分析时,研究非基波频率整数倍的间谐波同样重要[3-4]。FFT是目前应用在谐波参数检测中的较为普遍的一种方法[5-6],相比于其他的方法,FFT具有计算速度快、应用范围广、技术成熟等诸多优点[7-10]。然而当被测信号频率发生变化导致非整周期采样时,由于频谱泄漏和栅栏效应的影响,FFT会产生很大的误差[11-13]。

为了减小电网频率变化对谐波检测的影响,可以采用硬件锁相环电路实现同步采样,也可以采用加窗插值FFT算法、神经网络算法、小波分析算法等其他算法。加窗插值FFT算法是应用较为广泛的一种方法,通过采用性能优良的窗函数以及对计算结果进行插值修正可减小非整周期采样引起的误差[14-16]。

本文针对Blackman-Harris窗三次样条插值FFT算法进行了公式推导,并使用Matlab进行仿真,比较了几种基于三次样条插值的加窗FFT算法的间谐波检测精度,仿真结果表明,本文比较的几种方法的间谐波检测精度较高,有效地减小了非整周期采样对FFT的影响。

1公式推导

设频率为fi，幅值为Ai，相位为φi,最高谐波次数为h的谐波信号x(t)为:

(1)

以采用频率fs均匀采样得到其离散信号x(n)为:

(2)

以基频信号为例进行分析,即

(3)

其中,A1、f1、φ1分别为信号的幅值、频率、相位;n=0,1,…,N-1;N为采样点数。

余弦组合窗的时域表达式为:

其中,R为窗函数的项数;ar满足约束条件:

余弦组合窗的系数见表1所列。

表1　余弦组合窗的系数

余弦组合窗的旁瓣特性见表2所列。

表2　余弦组合窗的旁瓣特性

窗函数的频谱特性主要包括主瓣宽度、旁瓣峰值电平以及旁瓣渐近衰减速率,主瓣越窄,频率分辨率越高;旁瓣越大,泄漏越多;旁瓣渐近衰减越快,对泄漏的抑制能力越强。应选择旁瓣峰值电平小、旁瓣渐近衰减快的窗函数对信号进行处理。

Blackman-Harris窗是一种4项系数余弦窗,其表达式如下:

(4)

系数a0=0.358 75,a1=0.488 29,a2=0.141 28,a3=0.011 68。

w(n)的DTFT频谱函数WB-H(ejω)为:

(5)

对信号x(n)加Blackman-Harris窗得信号xw(n)为:

xw(n)的DTFT频谱函数Xw(ejω)为:

(6)

忽略负频点处频峰的旁瓣影响,信号xw(n)的离散傅里叶变换Xw(k)为:

(7)

其中,Δf=(fs/N)=(1/NTs)。

在非整周期采样时,f1/Δf不为整数。令

(8)

令k=l,由(7)式、(8)式可得:

(9)

假设谐波信号x(t)为:

x(t)=100cos(100πt)+50cos(200πt)。

在Matlab中,对其进行整周期采样的频谱如图1所示,其中,采样频率取512 Hz,采样点数取512。

图1　整周期采样的频谱

在Matlab中,对其进行非整周期采样的频谱如图2所示,其中,采样频率取1 000 Hz,采样点数取512。

图2　非整周期采样的频谱

由图1、图2可以看出,在整周期采样的情况下,FFT可以准确地计算出谐波信号的参数;而在非整周期采样的情况下,由于频谱泄漏和栅栏效应的影响,FFT会产生很大的误差,得到的谐波参数不准。

三次样条插值从数学上看是一种改进的分段插值函数,在分段处具有连续的二阶导数,且连续点保持光滑。在各个子区间[xj-1,xj](j=1,2,…,N+1)上的三次样条函数为:

其中,xj-1≤x≤xj;hj=xj-xj-1;Mj可利用三次样条函数的边界条件求得。

使用三次样条函数插值计算r,求得r之后可得信号的频率为:

由(9)式可得信号的幅值为:

由(9)式可得信号的相位为:

φ1=angle[Xw(l)]-

2复杂信号间谐波参数估计实验

仿真信号采用如下模型:

基波频率f1取50 Hz,采样频率fs取500 Hz,采样点数N取256,仿真信号的构成见表3所列。

表3　仿真信号的构成

实际情况下,电网频率存在波动,因此本文采用非整周期采样方式。仿真过程中采用FFT分别加Hanning窗、Hamming窗、4项1阶Nuttall窗、4项Rife-Vincent(Ⅲ)窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗三次样条插值方法进行Matlab仿真,仿真结果见表4、表5所列。

仿真结果表明,几种基于三次样条插值的加窗FFT算法的间谐波检测精度较高,频率平均误差皆小于0.1%,幅值平均误差皆小于4.4%,其中FFT加4项1阶Nuttall窗三次样条插值算法在间谐波参数检测上性能更加优良,频率平均误差在0.02%以内,幅值平均误差在0.3%以内,有效地减小了频谱泄漏和栅栏效应所引起的误差。

表4　频率仿真结果相对误差比较　%

表5　幅值仿真结果相对误差比较　%

3结束语

本文在针对Blackman-Harris窗三次样条插值FFT算法进行公式推导的基础上,使用Matlab进行仿真,比较了几种基于三次样条插值的加窗FFT算法的间谐波检测精度。仿真结果表明,本文比较的几种方法的间谐波检测精度较高,频率平均误差可达到0.02%以内,幅值平均误差可达到0.3%以内,有效地减小了频谱泄漏和栅栏效应所引起的误差,提高了间谐波参数检测的精度,具有一定的实用价值。

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(责任编辑张镅)

Comparison of several interharmonics detection approaches based on windowed cubic spline interpolation FFT

CHEN Bo1, XU Yang1, ZHENG Peng2, ZHAO Wei-zhong1, LIU Dong-mei1

(1.School of Electric Engineering and Automation, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.Nanjing Branch, Maintenance Branch of Jiangsu Electric Power Company, Nanjing 210000, China)

Abstract:In the case of non-integer-period sampling, there is a big error in fast Fourier transform(FFT). In this paper, the precision of several interharmonics detection approaches based on windowed cubic spline interpolation FFT is compared through the simulation of signal model in Matlab. Taking Blackman-Harris window cubic spline interpolation FFT algorithm as an example, the formula derivation of the algorithm is done to get the computational formulas of frequency, amplitude and phase. The simulation results show that the precision of several interharmonics detection approaches based on windowed cubic spline interpolation FFT in the paper is high. The average error of frequency can be lower than 0.02%, and the average error of amplitude can be lower than 0.3%, thus reducing the influence of non-integer-period sampling on FFT effectively.

Key words:fast Fourier transform(FFT); cubic spline interpolation; Blackman-Harris window; interharmonics; harmonic detection

收稿日期：2015-05-06；修回日期：2015-07-20

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11105037)

作者简介：陈波(1976-),男,安徽阜阳人,博士, 合肥工业大学副教授,硕士生导师.

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.05.008

中图分类号:TM935.21

文献标识码：A

文章编号：1003-5060(2016)05-0613-05