利用参数t的几何意义巧解距离问题

董海涛

(安徽省阜阳市第三中学，236000)

利用参数t的几何意义巧解距离问题

董海涛

(安徽省阜阳市第三中学，236000)

其中参数t的几何意义是:|t|表示直线上的动点M(x,y)到定点M0(x0,y0)的距离,若t>0,则动点M在定点M0的上方;若t<0,则动点M在定点M0的下方;若t=0,则动点M与定点M0重合.

下面结合具体实例,体会利用直线参数方程中参数t的几何意义,简洁快速地求解与距离有关的问题.

例1已知过点M(-1,2)且斜率为-1的直线l与抛物线y=x2交于A,B两点.(1) 求|MA||MB|的值；(2) 求|AB|的值.

解直线的参数方程为

|MA||MB|=|t1||t2|=2,

评注如果按照常规方法联立直线与抛物线方程,求出交点A,B的坐标,再求线段AB的长和点M到A,B两点距离之积,显然运算量较大,而利用直线参数方程中参数t的几何意义,问题的求解则变得十分简洁.

变式1已知过点M(-1,2)且斜率为2

|MA||MB|=|t1||t2|=5,

|AB|=|t1-t2|

=10.

变式2已知直线l的参数方程为

点M(-1,2),直线l与抛物线y=x2交于A,B两点.(1) 求|MA||MB|的值；(2) 求|AB|的值.

解把直线的参数方程

改写为“标准形式”

(其中m为参数).

代入抛物线方程,得

根据韦达定理,得

由参数m的几何意义，得

|AB|=|m1-m2|

评注把直线参数方程的非标准形式化为标准形式很关键,这样才能体现参数t的几何意义.

变式3已知过点M(-1,2)且斜率为-1的直线l与抛物线y=x2交于A,B两点,C为线段AB的中点,求|MC|的值.

变式4已知过点M(-1,2)且斜率为-1的直线l与抛物线y=x2交于A,B两点,C在线段AB上,且|AC|=2|CB|,求|MC|的值.

根据参数t的几何意义，可知

|AB|=|t1-t2|

根据AB⊥DE,可得

例3长度为l(l>4)的线段AB的两端在抛物线y2=4x上移动,(1)求线段AB的中点M的轨迹方程,(2)求线段AB的中点M到y轴的距离的最小值.

解(1)设M(x0,y0),则直线AB的参数方程为

①

因为线段AB的长度为l(l>4),即

l=|t1-t2|,

所以l2=(t1+t2)2-4t1t2

②

(4x-y2)(4+y2)=l2.

(2)由(1)知

评注本题中点M虽然不是定点,但由参数t的几何意义以及“线段AB的中点M”仍然可知t1+t2=0,这是本题解决的关键所在.掌握参数t的几何意义的本质,辅以根与系数的关系,为我们的解题带来了耳目一新的感觉,提供了无穷的思维想象空间和广阔的解题思路,这是传统的解法无法比拟的.

熟练运用参数t的几何意义解与距离有关的问题,可以减少运算,提高解题速度,并且可以将解出的代数结果进行几何解释,体现了数形结合的思想.