二次函数与一元二次方程的根与系数的关系

罗蓉

在二次函数与一元二次方程的根与系数的关系中，主要讲解了两个方面的问题：一是用图像法求方程的近似根；二是用方程的方法研究图像与x轴交点个数以及交点求法. 其实解决这两个问题都需要运用数形结合的思想.

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，这条抛物线与x轴有三种位置关系：（1）有两个交点；（2）只有一个交点；（3）没有交点.

当抛物线与x轴有两个交点时，这两个交点大致有下列三种位置关系：（1）同在原点的右边；（2）同在原点的左边；（3）在原点的两旁.

因为x轴上点的纵坐标都是0，所以研究上述问题，就变为研究一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判别式、根与系数的关系的问题了.

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），若Δ=b2-4ac>0，则该函数的图像与x轴必有两个交点，这两个交点的位置与一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根与系数的关系对应如下：

设一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两根为x1、x2则有

1. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点同在原点左边时：x1+x2<0，且x1x2>0.

2. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点同在原点右边时：x1+x2>0，且x1x2>0.

3. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点位于原点两旁时：x1x2<0.

解决有关二次函数的图像与x轴的交点的位置问题，一定要同时考虑一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系. 在这类问题中，我们经常会遇到这种类型的题：

通过以上三个例题的两种解题方法来看，利用数形结合的思想，不失是一种很好的解题途径，可以使复杂的计算简单化，有利于提高解题效率.