识图　观图　作图　用图
——谈数形结合思想在函数中的应用

浙江省衢州第二中学　(324000)

傅建红



识图观图作图用图
——谈数形结合思想在函数中的应用

浙江省衢州第二中学(324000)

傅建红

笔者在高三复习教学中发现，尽管数形结合思想学生早已耳熟能详，也深谙其义，但对它“具体有哪些应用？怎么用？”却不甚了然，以至在面对具体问题时依旧难以入手.究其原因，笔者认为是缺少对其应用场合的归纳以及操作层面的指导.本文下面以近几年的高考、模考试题为例，谈谈数形结合思想在函数中的应用.

一、识图

“识图”是指在给出函数解析式时，如何利用函数的性质匹配其图像.函数的性质有定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、极值、最值、极限等，根据它们，即可了解图像的大致走势与分布，再结合选择支，不难找出正确答案.

例1(2013年福建(文))函数f(x)=ln(x2+1)的图像大致是().

A　　　　　 B 　　　C 　　　　　D

解:考察函数值域知，f(x)=ln(x2+1)≥ln1=0(当x=0时等号成立)，所以B、C、D均错，故选A.

点评:本题也可根据(1)f(x)为偶函数(图像关于y轴对称)；(2)f(0)=0(过原点)，从而获解.

A B C D

二、观图

“观图”是指在给出函数图像时，如何利用图像提供的信息，推测函数的性质.其着眼点通常有：图像与两轴交点的位置、图像在两轴上的投影区间(体现函数的定义域和值域)，单调性、对称性、极值点、渐近线等.

图1

例3(2015年安徽(文))函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图1所示，则下列结论成立的是().

A.a>0,b<0,c>0,d>0

B.a>0,b<0,c<0,d>0

C.a<0,b<0,c>0,d>0

D.a>0,b>0,c>0,d<0

点评:“观图识性”是数形结合思想的重要体现.本题中，先由函数图像与y轴相交点的坐标确定d的正负，再由单调区间及x1,x2的正负确定a,b,c的正负.

图2

A.a>0,b>0,c<0

B.a<0,b>0,c>0

C.a<0,b>0,c<0

D.a<0,b<0,c<0

解:观察图像可知，函数在y轴上的截距为正，且函数的竖直渐近线x=-c也为正，所以b>0，c<0.又当x>-c时，f(x)<0，所以a<0，故选C.

点评:对分式函数而言，使分母为零的x是函数的竖直渐近线；当分母趋于无穷(正无穷或负无穷)时，若函数值趋于某一常数，则该常数为函数的水平渐近线.故此函数存在两条渐近线x=-c和y=0，由此也可确定a<0(例如，观图可知，当x→-∞时，f(x)→0+，又分母恒正，所以a只能小于零).

三、作图

“作图”是指根据函数的解析式(若没有解析式则根据函数的性质)，而描出函数大致图像的过程.作图是数学的一项基本功，更是数形结合的前提.在某些函数问题中(如函数的零点相关问题)，正确的作图基本就意味着解题的成功.但如何进行作图？其步骤为：(1)根据函数的类型，先作其基本函数图像；(2)再看此函数可由此基本函数经过怎样的变换(平移、伸缩、对称(包括翻折)等)而得.因此，首先要对十类基本初等函数(一次、二次、正比例、反比例、指数、对数、幂、三角、“对勾”、“蝴蝶”)的图像了然于胸，其次，还需熟悉函数图像的种种变换.具备上述能力，方可称为“能作图”.

例5(2015年湖南(文))f(x)=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是.

图3

解:由函数与方程思想知，函数f(x)有两个零点，即方程b=|2x-2|有两个解，也即直线y=b与函数y=|2x-2|的图像(如图3)有两个交点.观察图像即知，0

点评:函数y=|2x-2|的作图方法为：先作y=2x图像，将其图像向下平移2个单位(或图像不动，将坐标系向上平移2个单位)，再将所得图像在x轴下方的部分关于x轴翻折即得.提醒：此题在作图时极易忽略图像存在渐近线(因为当x→-∞时，2x→0+，y=|2x-2|→2，所以图像存在渐近线y=2)，从而导致解题错误.

图4

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点评:上述解法在作h(x)图像时，首先考虑h(x)的性质，然后作图，此举大大简化了作图的难度，值得细细体会.

四、用图

图5

例7(2015年北京(理))如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为().

A.(-1,0]B.[-1,1]

解:作出函数y=log2(x+1)的图像(如图5)，观察图像易知，不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为(-1,1]，故选C.

点评:不等式f(x)≥g(x)的解集为：同一坐标系下，函数y=f(x)在y=g(x)上方的图像在x轴上的投影区间(包括交点).本题若用代数方法，需求出函数f(x)的解析式，然后解两个不等式，最后求并集，这样既麻烦又容易出错.

图6

A.无论a为何值，均有2个零点

B.无论a为何值，均有4个零点

C.当a>0时，有3个零点；当a<0时，有2个零点

D.当a>0时，有4个零点；当a<0时，有1个零点

图7

例9(2015年温州质检(理)) 已知函数f(x)=|log2|x-1||，且关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0有6个不同的解x1,x2,x3,…,x6，则x1+x2+x3+…+x6的值为.

点评:解决本题的关键是：(1)能正确作出函数f(x)的图像(利用对称、平移、翻折)；(2)能通过换

元，将复合函数方程，转化为简单函数的方程组；(3)能理解并运用上述函数与方程思想的相关结论.

图8

解:如图8，先作出分段函数f(x)的图像.由题意知，存在直线y=t与f(x)的图像交于4点，所以|log3a|=|log3b|，即ab=1，又抛物线的对称轴为x=5，所以c+d=10.令z=abcd，则z=cd=c(10-c)，观察图像易知3

点评:解决本题的关键是：(1)能正确作出分段函数f(x)的图像(由每段上的函数图像合并而得)；(2)能通过图像看出a,b,c,d各自的取值范围.

笔者常有这样的体会：许多数学问题与“形”结合起来，问题就容易理解且印象深刻；借助“形”的形象思维，问题常可化难为易、巧妙解决.然而，实践证明，如果不能解决数形结合在操作层面的“技术”问题，那么尽管数形结合有诸多好处，它也不过是教师口中的“漂亮”词藻，而学生却难以真正的心领神会、运用自如.本文通过“识图、观图、作图、用图”四个方面阐述了数形结合思想在操作层面的具体应用，希望能对学生运用数形结合思想解决函数问题有所帮助.

[1]傅建红.一类悄然升温的“嵌套函数”零点相关问题例谈[J].中学数学研究,2013,12.

[2]王勇,李燃.点击2011年高考数学中的图像试题[J].中学数学(高中版),2011,09.