一例二次方程根的分布问题的常见错解

江西省樟树中学　(331200)

杨建华



一例二次方程根的分布问题的常见错解

江西省樟树中学(331200)

杨建华

一元二次方程根的分布问题，是三个“二次”(一元二次函数，一元二次方程及一元二次不等式)关系中的重要题型，也是培养学生数形结合，分类讨论及函数与方程等数学思想的非常好的载体.从教学实践来看，一般地，学生对以下一些较为简单的根的分布问题：诸如①方程有两正根；②方程有两负根；③方程有一正一负两根；④方程在[k1,k2](其中k1

例若方程x2+(3a-2)x+a-1=0在(-1,3)上仅有一根，求a的取值范围.

图1

分析：当a满足f(-1)f(3)<0时，抛物线在坐标系中的图像为图1、图2.由此可见，此时方程f(x)=0确实在(-1,3)上仅有一根.

图2

那么，问题出在哪里呢？本题求参数a的取值范围，也就是求使得方程f(x)=0在(-1,3)上仅有一根的充要条件，而错解中f(x)满足f(-1)f(3)<0仅是该结论成立的充分条件，是否是必要条件还有待进行全面的分析.事实上，若抛物线图像如图3或图4所示时(不满足f(-1)f(3)<0)也能使f(x)=0在(-1,3)上仅有一根.该情形是否存在呢？检验便可得知.

图3

图4

②当f(-1)=0时，即-2a+2=0时，解得a=1，此时方程为x2+x=0，其另一根x=0∈(-1,3)，所以此时方程在(-1,3)上有唯一根x=0，符合题意.

由上例错解及分析，不难总结出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在区间(m,n)(也可以是[m,n)，(m,n]，[m,n])上仅有一根时参数取值范围问题的一般步骤：

令f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则(1)由f(m)f(n)<0解出参数范围；(2)当f(m)=0时，求出参数的取值，进而求出方程的另一根，检验这一根是否在(m,n)内，由此判断此时求出的参数取值是否符合题意；(3)当f(n)=0时重复步骤(2).最后写出正确答案.

为巩固此文但要的解法，特提出此问题的一变式题：若将本题中在(-1,3)上仅有一根分别改为在[-1,3]上，[-1,3)上，(-1,3]上仅有一根，试分别求出参数a的取值范围.