某连续梁地震响应分析

詹英杰， 唐怀平， 童少伟

(西南交通大学， 四川成都 610031)



某连续梁地震响应分析

詹英杰， 唐怀平， 童少伟

(西南交通大学， 四川成都 610031)

选择某连续梁，采用有限元软件建立相应模型，并选择汶川地震波作为荷载进行加载计算。作者分析了该连续梁跨中点的应力、挠度时程响应及根部的应力时程响应;采用功率谱密度函数分析了地震波频域特性，根据功率谱密度函数频域特性分析，重新计算了模型在固有频率接近地震功率谱密度峰值处情况下的响应。

地震；连续梁；响应；应力；荷载；功率谱密度

地震对土木结构的破坏作用巨大，汶川“5·12”大地震中，无数的房屋、桥梁、道路被毁；人身财产安全在地震中也受到了巨大的威胁。近年来，结构抗震设计也越来越成为人们关心的问题。基于此，笔者对我国某连续梁进行了抗震验算，分析了结构固有特性、地震荷载特性与结构响应之间的相互影响。

1　模型概要

1.1连续梁模型

选择一我国高速铁路线上的连续梁作为计算模型，采用有限元计算软件进行数值模拟。该连续梁模型整体采用C50号混凝土材料，跨度为40+64+40 m，模型见图1。

材料参数为：

弹性模量：E=3.55E10 MPa

密度：ρ=2 600 kg/m3

泊松比：μ=0.3

图1　计算模型

软件中采用solid45空间实体单元对结构进行网格划分；底面采用两方向位移约束；端部一边采用三方向位移约束，另一边采用两方向位移约束。

1.2地震荷载

笔者选择了汶川地震波作为该桥的验算地震波。由于汶川地震强度大、持续时间长。本文仅选择其8 s时间的波(图2)作为本次计算荷载；选定波的峰值加速度为2.28 m/s2；离散荷载共计400步，每个荷载步持续时间为0.02 s，其值远低于结构固有第一阶频率0.27 s，因此可选择作为验算荷载。

图2　地震波荷载

2　模型计算

根据选定的模型以及相应的荷载，即可在通用有限元软件中进行计算；计算采用瞬态动力学方法进行。瞬态动力学计算方法存在一定缺陷，如：计算量大，对计算机的性能要求较高；需要的存储容量高，对计算机的存储容量要求较高。但是，现今计算机性能日益提升，瞬态动力学方法的优点也日益体现，例如计算处理器性能的提升，对计算大型矩阵将不存在困难，存储容量的加大，使得数据存储不存在困难，并且，瞬态动力学计算是基于时间域的计算，其结果有直观的物理意义，可以很好的被人们接受。

为了解结构在该荷载作用的响应以及对结构的影响，笔者重点选择了几个关键截面上的响应作为分析对象：跨中截面应力和挠度响应、根部截面的应力响应，其分析结果见图3～图6。

图3　跨中正应力时程曲线

图4　跨中挠度时程曲线

图5　根部正应力时程曲线

图6　根部剪应力时程曲线

通过处理后，该结构根部剪应力最大值为32 881.9 Pa，正应力最大值为1.953 MPa；跨中正应力最大值为2.375 MPa，挠度最大值为0.0078 m，总结发现，结构应力均未超过C50混凝土的强度限值；挠度也小于相关标准中的L/400的规定。笔者认为，从该桥整体上的响应分析，可初步判断结构可以抵抗该地震荷载的作用。

根据结构动力学的常识，结构的响应取决于荷载的大小、荷载的形式以及结构本身的形式以及相应的结构特性，为验证结构响应同荷载类型的相关性，笔者继续通过功率谱密度函数分析的方式，分析了荷载特性与结构特性之间的联系对结构响应的影响。

3　功率谱密度函数分析

3.1功率谱密度函数理论

谱分析是研究振动的一个重要手段。根据傅里叶分析，任何一个周期T的周期运动x(t)都可以展开成傅里叶级数：

(1)

(2)

上式的物理意义：任何形式的周期运动可以看成是基频(ω)和一系列的泛谐振的叠加。

对于任何非周期运动的时间函数x(t)，不能把它展开成傅里叶级数，而只能将其写成傅里叶积分，假设。

(3)

则：

(4)

(5)

即非周期运动的频率谱是连续谱。

对于随机过程，自然可以推测其频率谱也是连续谱。然而：

(1)有些随机过程x(t)有可能是随时间t而无限连续下去，即x(t)在任何时刻都具有有限值，如理想白噪声，此时条件式(3)不成立，即将x(t)表示成傅里叶积分不成立。

(2)有些运动或过程，它们有随机性，但又不是完全的随机，而是有一定的规律(色噪声，如粉红噪声)。

因此，对于一般的随机运动不能利用傅里叶变换求出其振幅-频率谱，有的即便可以求出，但不能反映出运动的某些特性。

继而，定义自相关函数(离散卷积)，x(t)的自相关函数C(τ)的定义是：

(6)

式中的τ是时间的移动值。这样，C(τ)的值表示两时刻(t和t+τ)运动或随机过程的相关联程度：当x(t)幅值一定时，C(τ)越大，则意味着x(t+τ)与x(t)越相似；又τ越小时，x(t+τ)与x(t)越相似，从而C(τ)值越大。反之，τ越大时x(t+τ)与x(t)差别可能越来越大。最后两者完全无关而C(τ)趋于0。

自相关函数存在以下性质：

其一：C(τ)是实偶函数，即:

因为：

上面第二式是由代换λ=t-τ得到，第三式是考虑到由于积分上下限同时改变τ而积分时间间隔T不变，当T→∞时，这样改变不引起结果变化；

其二：C(0)是C(τ)的最大值，因为：

所以，C(0)≥|C(τ)|；

其三:C(0)等于x(t)的均方根值。

其四:对于周期运动，x(t)是周期函数，则C(τ)也是周期函数。此时，C(τ)不仅在τ=0处取极大值，在nT处(T为周期)都会出现极大值；

其五：在某些情况下，运动并不是规则的，但也不是完全随机的。设，如果x(t)包含随机过程s(t)和规则运动部分r(t)两部分：

则，x(t)的自相关函数等于这两部分各自自相关函数之和：

依据上述性质，我们可以用自相关函数分析随机过程中的确定信号或者随机特征。

为表示运动的频谱特性，可以对自相关函数进行傅里叶变换：

C(τ)的傅里叶变换S(ω)即可用来描述运动的频谱特征，S(ω)又称为功率谱密度函数。

可见，功率谱密度函数S(ω)在频域中反映了荷载的分布情况，对于随机的地震荷载信号，其也存在一定的频域荷载峰值，通过功率谱密度函数的分析，可以了解该荷载在哪个频率下，对结构的作用最大。

3.2地震波的功率谱密度函数分析

笔者对所选用的地震荷载谱进行了功率谱密度函数分析，得到了频域下的功率谱密度函数分布(图7)。

通过对上述的功率谱密度图形分析，可知，选定的地震波对频率较低的区域作用小，当频率f<2时，PSD值基本在0附近；对2.53.5的范围内，PSD值又较小。

图7　功率谱密度

4　基于功率谱分析下的结构响应计算

笔者基于对选定的地震波的功率谱密度分析结果，对模型参数进行了小幅度修改，并重新进行了计算。

4.1结构模态分析

笔者采用BlockLanczos方法对连续梁结构进行了两组模态分析，第一组采用标准C50混凝土材料参数进行网格划分；第二组将混凝土的弹性模量E改成3.06MPa，计算结果见图8、图9。

图8　标准参数下结构第一阶模态

图9　修改参数后结构第一阶模态

其中，图8为结构材料为标准C50材料参数下的结构第一阶纵向弯曲模态。从截图可知，结构第一阶纵向弯曲固有频率为3.769Hz；图9为结构材料为修改弹性模量E为3.06MPa后，结构第一阶纵向弯曲模态，从截图可知，结构第一阶纵向弯曲固有频率为3.5Hz。

通过前文的功率谱密度分析可知，修改参数后结构的第一阶纵向弯曲固有频率刚好与功率谱密度中的一个峰值重合。

4.2参数修改后结构响应分析

基于前一步对结构模态的分析，笔者继续对该修改了材料参数的模型进行结构地震作用下的瞬态动力学分析，并提取了同第二步中一致的关键截面响应数据，见图10～图13。

图10　跨中正应力时程曲线

图11　跨中挠度时程曲线

图12　根部正应力时程曲线

图13　根部剪应力时程曲线

通过处理后，提取响应参数的最大值，并同原始计算模型的结果进行比较分析，可将结果汇总成一个表格(表1)。

表1　不同材料参数下的结构最大响应值

从表1的计算结果可知，结构在弹性模量E改变13.8 %的情况下，该连续梁结构承受同样地震荷载时，结构关键截面的响应大幅度提高，其中根部正应力提高幅度达到68.9 %，其他选定的响应值提高幅度均超过50 %。

从结构动力学的角度看，这种放大作用是由于结构荷载特征周期和结构的固有频率之间存在共振的情况，共振现象在一般的结构设计时都是应该尽力避免的。

5　结论

本文以数值模拟与理论分析相结合的方式，对我国某高速铁路线连续梁模型进行了地震荷载作用下的结构瞬态动力学分析，得到了一些有参考意义的结论。

(1)通过结构地震荷载作用下的瞬态动力学分析，可以获得结构时域响应信息，可通过对时域响应信息的清晰判断来评估结构的安全性，可作为结构设计参考。

(2)通过对地震波荷载离散形式下的功率谱密度函数分析，得到了频域下地震波的功率谱密度分布情况，并结合结构的模态分析，计算了模态频率和功率谱密度函数峰值点对应频率接近情况下的结构动力学响应，结合原始计算响应，笔者发现，结构模态频率和功率谱密度函数峰值点对应频率接近时，结构关键截面的动力响应明显的增大了。

(3)通过上述分析，笔者认为，结构设计时，设计师还应该考察当地的地质情况，尽可能的了解当地的地震卓越周期，在结构设计时，结构低阶频率要尽可能避开当地的地震卓越周期。

[1]刘秉正. 非线性动力学与混沌基础[M]. 长春：东北师范大学出版社，1994.

[2]刘式达，刘式适. 非线性动力学和复杂现象[M]. 北京：气象出版社，1989.

[3]裘伯永,盛兴旺. 桥梁工程[M]. 北京: 中国铁道出版社，2008.

[4]李乔. 混凝土结构设计原理[M]. 北京：中国铁道出版社，2009.

[5]盛和太,喻海良, 范训益.ANSYS有限元原理与工程应用实例大全[M]. 北京:清华大学出版社，2006.

U442.5+5

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[定稿日期]2016-03-07