自复位单自由度体系随机地震响应分析

胡晓斌， 江卫波

(武汉大学 土木建筑工程学院,武汉　430072)



自复位单自由度体系随机地震响应分析

胡晓斌， 江卫波

(武汉大学 土木建筑工程学院,武汉430072)

给出了自复位体系恢复力的数学描述，建立了正态白噪声地面激励下采用等价线性化法求解自复位单自由度体系随机响应的流程，并采用Monte-Carlo法验证了其正确性，最后通过参数分析对随机响应的影响因素进行了研究。结果表明：结构周期越小，屈服位移系数或耗能参数越大，体系位移方差系数和速度方差系数越小；结构屈服后刚度系数越大，位移方差系数越小，速度方差系数越大；结构周期越大，屈服位移系数、屈服后刚度系数和耗能参数对位移方差系数和速度方差系数的影响越大。

自复位体系；恢复力；正态白噪声；随机地震响应；参数分析

自复位(Self-centering)结构近年来引起了研究者和工程技术人员的高度重视。作为一种新型的抗震结构体系，自复位结构与传统抗震结构的本质区别在于其卸载后变形能完全或基本恢复。在强震作用下，自复位结构基本不产生残余变形，震后不需或经少量的维修即可恢复正常使用[1-6]。

针对自复位单自由度体系，国内外少数学者通过非线性时程分析对其抗震性能进行了较为深入的研究。CHRISTOPOULOS等[7]针对自复位单自由度体系，分析了体系基本周期、屈服强度、屈服后刚度系数、耗能参数对体系位移延性、绝对加速度及耗能的影响，并和双线性单自由度体系进行了对比。结果表明：屈服后刚度系数或耗能参数越大，自复位体系位移延性越小，通过调整上述二个参数，可使自复位体系和双线性体系位移延性大致相当；和双线性体系相比，自复位体系绝对加速度更大、耗能更少，但其没有残余位移。SEO等[8]对自复位单自由度体系和双线性单自由度体系的位移延性需求进行了对比研究，结果表明，当强度折减系数和屈服后刚度系数相同时，自复位体系的位移延性比双线性体系大，且两种体系的位移延性随着屈服后刚度系数和耗能参数的增大而显著减小。HU等[9]针对产生少量残余位移的部分自复位单自由度体系，研究了屈服后刚度系数、耗能参数和残余位移系数对其位移延性的影响，结果表明，屈服后刚度系数、耗能参数或残余位移系数的增加会减小体系的位移延性。

可以看出，以上研究基本上针对确定性的地面激励，而在随机地面激励下尚缺乏相关的成果。基于此，本文首先给出自复位体系恢复力的数学描述，然后建立了正态白噪声地面激励下采用等价线性化法求解自复位单自由度体系随机响应的流程，最后通过参数分析对其影响因素进行初步研究。

1　自复位体系恢复力的数学描述

1.1数学描述

对于自复位体系，常采用FS(Flag-Shaped)模型描述其恢复力，如图1(a)所示，其中fy、xy分别为屈服力及屈服位移，k为弹性刚度，α、β分别为屈服后刚度系数及耗能参数。

图1　自复位体系恢复力的分解Fig.1 Decomposition of restoring force of self-centering system

自复位体系恢复力可以分解为弹性力(图1(b))和滞变力(图1(c))的和，即：

(1)

(2)

借助于阶跃函数，经过反复试凑，滞变位移可以表示为如下微分方程的形式：

(3)

式中：ε(·)为单位阶跃函数。

图2　自复位体系的滞变位移Fig.2 The hysteretic displacement of self-centering system

1.2数值验证

为验证上述数学描述的正确性，本节采用MATLAB/Simulink对其进行仿真。仿真模型如图3所示，主要包括四个模块或子系统：输入模块、弹性力子系统、滞变力子系统及输出模块。其中，输入模块采用正弦位移激励，弹性力子系统的封装参数为k，滞变力子系数的封装参数包括α、β及xy。

采用上述仿真模型，变化α、β，其它参数一定，可输出相应的力-位移曲线，如图4所示。可以看出，滞回曲线为“旗形”，符合FS模型的特征，因此式(1)、(3)能正确地描述自复位体系的恢复力。

图3　Simulink模型图Fig.3 Model diagram established in Simulink

(a) α=0.02,β=0　　　　　(b) α=0.1,β=0.3

(c) α=0.2,β=0.6　　　　　(d) α=0.35,β=1图4　Simulink仿真结果Fig.4 The simulation results obtained from Simulink

2　自复位单自由度体系随机响应分析

2.1运动微分方程

随机地面激励下自复位单自由度体系的运动微分方程可以表示为：

(4)

2.2恢复力的等价线性化

式(3)的等价线性方程可以表示为：

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：H是式(3)右端的具体函数。

将式(3)代入式(6)，整理可得：

(9)

式中：δ(·)为单位脉冲函数。

(10)

(11)

(12)

2.3随机响应计算

由式(1)、(4)、(5)，可得自复位单自由度体系的状态方程为：

(13)

(14)

(15)

设状态向量Z的二阶中心矩为Γ，则如下方程成立[10]：

AΓ+ΓAT+Ds=0

(16)

式中：

(17)

对于零均值平稳地面激励，体系响应的均值也为零，且位移响应和速度响应互不相关，因此Γ可表示：

(18)

将式(14)、(17)、(18)代入式(16)，经整理可得如下方程：

(19)

式中：p*=(1-α)k/m，q*=αk/m。

(20)

2.4等价线性化法的验证

前面二节建立了采用等价线性化法求解自复位单自由度体系随机地震响应的流程，为验证其可行性，本节采用Monte-Carlo法[11]进行对比分析。

(1) 计算参数

由图1可以看出，FS模型需要4个参数才能完全确定下来，本文选取xy、k、α、β来描述。屈服位移xy定义如下：

(21)

式中：η为屈服位移系数，De(X)为白噪声地面激励下线弹性单自由度体系的位移方差，如下所示：

(22)

体系刚度k计算如下：

(23)

阻尼系数c计算如下：

(24)

式中：ξ和T分别为体系的阻尼比和周期。

(2) 计算结果对比

假设自复位单自由度体系的参数取值如下：S0=1 m2/s3，m=1 kg，ξ=0.05，α=0.35，β=0.6，η=0.1，T=1 s。分别采用等价线性化法及Monte-Carlo法进行对比分析。采用Monte-Carlo法计算时，正态白噪声的样本由三角级数法得到，样本数取为300，每个样本时间间隔为0.02 s，共1 000个点。

图5为二种方法计算得到的位移方差及速度方差随时间的变化曲线。可以看出，在外部激励是正态白噪声的情况下，体系的位移及速度方差大致与时间无关，且二种方法的计算结果很接近，表明采用等价线性化法求解自复位单自由度体系的随机地震响应是可行的。

图5　正态白噪声作用下的随机响应方差Fig.5 Random response variance of normal white noise

3　随机响应的影响因素分析

3.1计算参数

为研究不同参数对自复位单自由度体系随机响应的影响，各参数取值如下：α分别取0.02、0.1、0.2、0.35；β分别取0、0.3、0.6、1；η分别取0.05、0.1、0.2、0.3；T分别取0.1 s、0.25～2 s(间隔0.25 s)。其它参数取为定值，分别为：S0=1 m2/s3，m=1 kg，ζ=0.05。

3.2随机响应的定义

(25)

(26)

(27)

3.3影响因素分析

(1) 随机响应谱

当给定α、β及η时，式(25)、(26)可表示为：

u=u(T)

(28)

v=v(T)

(29)

上式给出了位移方差系数、速度方差系数与体系周期之间的关系，本文分别称之为位移方差系数谱及速度方差系数谱。

取α=0.35，β=1，η=0.1，计算所得典型的位移方差系数谱和速度方差系数谱如图6所示。可以看出：随着T增加，u和v均单调增大，但曲线形状存在明显差异，前者凸向横轴，而后者凹向横轴。

图6　典型的随机响应谱曲线(α=0.35，β=1，η=0.1)Fig.6 Typical random response spectrum curves(α=0.35，β=1，η=0.1)

(2) 屈服位移系数的影响

分别取η=0.05、0.1、0.2、0.3，α=0.35，β=1，计算所得位移方差系数谱和速度方差系数谱如图7所示。可以看出：① 随着η增加，u和v均减小，表明体系屈服位移系数越大，其位移方差系数和速度方差系数越小；② 随着T增加，η增大时u和v减小的幅度增大，表明体系周期越大时，体系的屈服位移系数对位移方差系数和速度方差系数的影响越大；③ 当η较小时，增大η时v减小的幅度越大，表明对于屈服位移较小的体系，可通过增大屈服位移显著减小体系的速度方差系数。

图7　η对随机响应谱曲线的影响(α=0.35，β=1)Fig.7 Effect of η on the random response spectrum curves(α=0.35，β=1)

(3) 屈服后刚度系数的影响

分别取α=0.02、0.1、0.2、0.35，β=1，η=0.3，计算所得位移方差系数谱和速度方差系数谱如图8所示。可以看出：① 随着α增加，u减小，v增大，表明体系屈服后硬化程度越大，其位移方差系数越小，而速度方差系数越大；② 当T较大时，α增大时u和v改变的幅度增大，表明体系周期越大，体系的屈服后硬化程度对位移方差系数和速度方差系数的影响越大；③ 当α较小时，增大α时u减小的幅度越大，表明对于屈服后刚度系数较小的体系，可通过增大屈服后刚度系数显著减小体系的位移方差系数。

图8　α对随机响应谱曲线的影响(β=1，η=0.3)Fig.8 Effect of α on the random response spectrum curves(β=1，η=0.3)

(4) 耗能参数的影响

分别取β=0、0.3、0.6、1，α=0.2，η=0.3，计算所得位移方差系数谱和速度方差系数谱如图9 所示。可以看出：① 随着β增加，u和v均减小，表明体系耗能能力越强，其位移方差系数和速度方差系数越小；② 随着T增加，β增大时u和v减小的幅度增大，表明体系周期越大时，体系的耗能能力对位移方差系数和速度方差系数的影响越大。

图9　β对随机响应谱曲线的影响(α=0.2，η=0.3)Fig.9 Effect of β on the random response spectrum curves (α=0.2，η=0.3)

4　结　论

本文首先给出了自复位单自由度体系恢复力的数学描述，并通过Simulink平台验证了其合理性，然后建立了正态白噪声地面激励下采用等价线性化法求解自复位单自由度体系随机响应的流程，并和Monte-Carlo法进行了对比分析，验证了其正确性，最后进一步通过参数分析研究了随机响应的影响因素。可以得出如下主要结论：

(1) 结构周期越小，屈服位移系数或耗能参数越大，位移方差系数和速度方差系数越小。

(2) 结构屈服后刚度系数越大，位移方差系数越小，速度方差系数越大。

(3) 结构周期较大时，屈服位移、屈服后刚度系数和耗能参数对位移方差系数和速度方差系数的影响越大。

(4) 对于屈服位移较小的体系，可通过增大屈服位移显著减小体系的速度方差系数。

(5) 对于屈服后刚度系数较小的体系，可通过增大屈服后刚度系数显著减小体系的位移方差系数。

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A random seismic response analysis of self-centering SDOF systems

HU Xiaobin, JIANG Weibo

(School of Civil Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

In this work, the mathematical expression of restoring force of a self-centering system was given. The procedure of solving the random responses of self-centering SDOF(single degree of freedom) system under normal white noise ground excitation was established, which was compared and verified using the Monte-Carlo simulation method. Finally, the factors influencing the random responses were investigated by parametric analyses. The results indicate that the smaller structure period, the larger yield displacement ratio, or energy dissipation parameter leads to smaller displacement variance ratio and velocity variance ratio. With the rise of post-yielding stiffness coefficient, the displacement variance ratio decreases whereas the velocity variance ratio increases. For larger structure period, the yield displacement ratio, the post-yielding stiffness coefficient or energy dissipation parameter exerts greater impact on the displacement variance ratio or the velocity variance ratio.

self-centering system; restoring force; normal white noise; random seismic response; parametric analyses

国家自然科学基金项目(51578429;51208386)

2015-10-09修改稿收到日期：2016-01-28

胡晓斌 男，博士，副教授，1979年生

TU352

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.024