一题多变,搞定“围圈”

2016-10-26 03:44山中月章瑞峰
初中生天地 2016年27期
关键词:篱笆鸡场一元二次方程

□山中月 章瑞峰

一题多变,搞定“围圈”

□山中月章瑞峰

一元二次方程是解决实际问题的重要模型,也是初中数学的一个重要内容.下面我们借一道“围圈”习题变式,感受一元二次方程解决实际问题的便利.

例题如图1,要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18m),另外三边用40m长的篱笆围成,求鸡场的长和宽.

图1

解析:设AB长为x m,则BC长为(40-2x)m,依题意可列方程

x(40-2x)=150,

整理可得(x-5)(x-15)=0,

解得x1=5,x2=15.

当x=5时,BC=40-2x=40-2×5>18,

当x=15时,BC=40-2x=40-2×15<18,

∴x=15.

故鸡场的长是15m,宽是10m.

点评:运用一元二次方程解决这类“围圈”问题时,一定要根据题目中的隐含条件“墙长18m”,对与墙平行的一边的长进行检验,看“BC”边是否符合题意.

变式一:如果“墙长18米,篱笆长40米”的条件不变,能否围成面积为250m2的鸡场?

解:假设能围成面积为250m2的鸡场,则

x(40-2x)=250,

整理得x2-20x+125=0.

Δ=(-20)2-4×1×125<0,

方程无解,故不能围成面积为250m的鸡场.

点评:解决此类“判断型”问题,可假设存在等量关系,从而建立一元二次方程,通过判断方程是否有实数根,从而判定该等量关系是否存在.

变式二:如果“墙长18米,篱笆长40米”的条件不变,要使所围鸡场面积最大,该鸡场的长和宽分别是多少?

解:设鸡场面积为Sm2,AB= x m,BC=(40-2x)m,

则S=x(40-2x),

整理可得S=-2x2+40x,

BC=40-2x=40-2×10>18,不符合题意.

由a=-2<0可知,抛物线开口向下,当0<x<10时,S随x的增大而增大,当x>10时,S随x的增大而减小,即当x取最小值时,所围鸡场面积最大.

由题意可建立一元一次不等式

解得11≤x<20,

∴当x=11时,S有最大值,此时BC=40-2×11=18(m).

点评:涉及“极值”问题时,通常构造二次函数模型来解决.

应注意的问题是:

1.紧扣显性条件和隐含条件,准确求出自变量的取值范围;

变式三:如果“墙长18米,篱笆长40米”的条件不变,且在BC边上开一个2米长的门,要使所围鸡场面积最大,要求鸡场的长和宽.

图2

解:如图2,设鸡场面积为Sm2,AB=x m,BC=(40-2x+2)m,

得12≤x<21.

此时AB=12m,BC=18m.

点评:解决此类“开门”问题,审题是关键.如图2,“开门”的实质是在不改变篱笆长度的基础上,将BC长度增加了2m,由原来的x m变为(x+2)m,相应的面积也发生了变化.同样不能忽视题目中的隐含条件.?

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